2017杭州市萧山区九年级数学下开学试卷(含答案和解释)

2016-2017学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）开学数学试卷
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1． 是一个（　　）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
2．计算： ﹣ ，正确的是（　　）
A．4 B．  C．2 D．
3．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段为（　　）
A．16 B．±4 C．4 D．﹣4
4．下列语句中，正确的是（　　）
①三个点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
5．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），
则△OCD与四边形ABDC的面积比为（　　）
 
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
6．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　）
 
A．60° B．150° C．180° D．240°
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
 
A．  B．  C．    D．2
8．直线y= x和直线y=﹣x+3所夹锐角为α，则sinα的值为（　　）
A．  B．  C．  D．
9．已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（　　）
A．  B．  C．1 D．
10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ．其中，正确的结论是（　　）
 
A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
　
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=　　度．
12．分解因式：a3﹣4a（a﹣1）=　　．
13．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是　　．
 
14．若x=2t﹣5，y=10﹣t，S=xy，则当t=　　时，S的最大值为　　．
15．正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是　　 cm2．
 
16．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=4，AB=6，∠A=∠B=60°，则BC的长为　　．
 
　
三、全面答一答（本题有7小题，共66分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．计算：6tan230°﹣cos30°•tan60°﹣2sin45°+cos60°．
18．在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．
19．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20 m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：  1.414，  1.732）．
 
20．如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，请说明理由．（写出证明及计算过程）
 
21．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ：  =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
 
22．如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO=10，sin∠BOA= ．
（1）在图中，求作△ABO的外接圆（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；
（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不变，将点B沿x轴向右平移使得△ABO为等腰三角形，请求出平移后点B的坐标．
 
23．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
 
　
 

2016-2017学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1． 是一个（　　）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义即可作答．
【解答】解：∵ 是一个无限不循环小数，
∴ 是一个无理数．
故选D．
　
2．计算： ﹣ ，正确的是（　　）
A．4 B．  C．2 D．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．
【解答】解： ﹣ =2 ﹣ = ．
故选：D．
　
3．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段为（　　）
A．16 B．±4 C．4 D．﹣4
【考点】比例线段．
【分析】设a，b 的比例中项线段为x，则由 = 得x2=ab=2×8，解之可得答案．
【解答】解：设a，b 的比例中项线段为x，
则由 = 得x2=ab=2×8，
解得：x=4或x=﹣4＜0（舍去），
故选：C．
　
4．下列语句中，正确的是（　　）
①三个点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；矩形的性质；垂径定理．
【分析】根据圆的确定对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据垂径定理对③进行判断；根据圆内四边形的性质和矩形的判定方法对④进行判断．
【解答】解：①当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此结论错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，故此结论正确；
③当弦为直径时就不一定垂直了，故此结论错误；
④根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确；
故选：C．
　
5．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），
则△OCD与四边形ABDC的面积比为（　　）
 
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】先求得线段OA所在直线的解析式，从而可判断点C在直线OA上，根据△OCD∽△OAB得 =（ ）2= ，继而可得答案．
【解答】解：设OA所在直线为y=kx，
将点A（6，3）代入得：3=6k，
解得：k= ，
∴OA所在直线解析式为y= x，
当x=2时，y= ×2=1，
∴点C在线段OA上，
∵AB，CD都垂直于x轴，且CD=1、AB=3，
∴△OCD∽△OAB，
∴ =（ ）2= ，
则△OCD与四边形ABDC的面积比为1：8，
故选：D．
　
6．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　）
 
A．60° B．150° C．180° D．240°
【考点】旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，
即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
所以旋转120°或240°后与原图形重合．
故选：D．
　
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
 
A．  B．  C．    D．2
【考点】切线的性质；矩形的性质．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM= ，
∴DM=3 = ，
故选A．
 
　
8．直线y= x和直线y=﹣x+3所夹锐角为α，则sinα的值为（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】两条直线相交或平行问题；解直角三角形．
【分析】根据两直线相交得出三条边的长度，再根据a2=b2+c2﹣2bc•cosα计算得出cosα，进而求出sinα即可．
【解答】解：如图：
因为直线y= x和直线y=﹣x+3，
可得交点A的坐标为：（2，1），
可得点B的坐标为：（0，3），
所以可得：OA= ，AB= ，OB=3，
根据△ABC中三边和角的关系：BC2=AB2+OA2﹣2OA•ABcosα，
可得：9=5+8﹣2× ×2 cosα，
解得：cosα= ，
则sinα= = ．
故选：A．
　
9．已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（　　）
A．  B．  C．1 D．
【考点】根与系数的关系；同角三角函数的关系．
【分析】根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答．
【解答】解：根据已知，得
 ，即2= ，
∴3t2+5t﹣8=0，
∴解得t1=1，t2=﹣ ，
又∵ ＞0，即t＞0，
∴t2=﹣ 不符合题意舍去，
∴t所有可能值的和为1．
故选C．
　
10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ．其中，正确的结论是（　　）
 
A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
【考点】相似三角形的判定；平行线的判定；等腰三角形的性质．
【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．
【解答】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC= BC= ，CD=DE= CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；
当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；
故②不完全正确；
④∵ ，∴ ；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= ，AD=1；
故S梯形ABCD= （1+2）×1= ，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．
　
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=　120　度．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的性质，可得∠A+∠C=180°，联立∠A、∠C的比例关系式，可求得∠A的度数，进而可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°；
又∠A：∠C=1：2，得∠A=60°．
∴∠BOD=2∠A=120°．
故答案为：120．
　
12．分解因式：a3﹣4a（a﹣1）=　a（a﹣2）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先利用整式的乘法把式子整理成a3﹣4a2+4a，再提取公因式a，然后再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=a3﹣4a2+4a=a（a2﹣4a+4）=a（a﹣2）2，
故答案为：a（a﹣2）2．
　
13．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是　 　．
 
【考点】概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，
∴使△ABC为直角三角形的概率是： ．
故答案为： ．
　
14．若x=2t﹣5，y=10﹣t，S=xy，则当t=　 　时，S的最大值为　 　．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据题意列出S关于t的函数解析式，并配方成顶点式，结合二次函数的性质即可得出最值．
【解答】解：∵S=xy=（2t﹣5）（10﹣t）
=﹣2t2+25t﹣50
=﹣2（t﹣ ）2+ ，
∴当t= 时，S的最大值为 ，
故答案为： ， ．
　
15．正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是　 　 cm2．
 
【考点】正方形的性质．
【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
【解答】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），
∴△ABD的面积= 正方形ABCD的面积= a2．
∵△BCD中EF为中位线，
∴EF∥BD，EF= BD，
∴△GEF∽△GBD，
∴DG=2GE，
∴△BDE的面积= △BCD的面积．
∴△BDG的面积= △BDE的面积= △BCD的面积= • a2= a2．
∴阴影部分的面积= a2+ a2= a2．
故答案为：  a2．
 
　
16．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=4，AB=6，∠A=∠B=60°，则BC的长为　10　．
 
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】首先延长AO交BC于D，作OH⊥BC于H，由∠A=∠B=60°，可判断△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质可求得BD的长，再由含30°角的直角三角形的性质，求得DH的长，则可得到BH的长，根据垂径定理的性质，即可求得答案．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OH⊥BC于H，
∵∠A=∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD=AB=6，
∴OD=AD﹣OA=6﹣4=2，
在Rt△ODH中，∠ODH=60°，
∴∠DOH=30°，
∴DH= OD=1，
∴BH=BD﹣DH=6﹣1=5，
∵OH⊥BC，
∴BC=2BH=10．
故答案为：10．
 
　
三、全面答一答（本题有7小题，共66分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．计算：6tan230°﹣cos30°•tan60°﹣2sin45°+cos60°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：原式= ．
　
18．在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两数差为0的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先找出这两数的差为非正数的结果数和这两数的差为正数的结果数，再根据概率公式计算出小马赢的概率和小虎赢的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏是否公平．
【解答】解：（1）画树状图为：
 
共有12种等可能的结果数，其中两数差为0的结果数为3，
所以 P（两数差为0）= = ；
（2）该游戏公平．理由如下：
因为这两数的差为非正数的结果数为6，这两数的差为正数的结果数为6，
小马赢的概率= = ，小虎赢的概率= = ，
所以游戏公平．
　
19．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20 m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：  1.414，  1.732）．
 
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作DF的垂线，设垂足为E；可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF﹣AE，即可得出AF的长度．
【解答】解：过B作BE⊥DF于E．
Rt△ABE中，AB=20 m，∠BAE=60°，
∴BE=AB•sin60°=20 × =30，
AE=AB•cos60°=20 × =10 ．
Rt△BEF中，BE=30，∠F=45°，
∴EF=BE=30．
∴AF=EF﹣AE=30﹣10 ≈13，
即AF的长约为13米．
 
　
20．如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，请说明理由．（写出证明及计算过程）
 
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题中易证四边的四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1﹣x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积，然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，来列方程求解．
【解答】解：∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1，
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，
∴∠AD1A1=∠BA1B1，
同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，
∴AA1=D1D，
设AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，
Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得：
A1D12=x2+（1﹣x）2，
∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+（1﹣x）2= ，
解得x= ，x= ．
答：依次将四周的直角边分别为 和 的直角三角形减去即可．
 
　
21．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ：  =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
 
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连OP，根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°，则∠PAO=∠APO=30°，利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°，则∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°，根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；
（2）连BC，由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，利用 ：  =1：2，则∠ABC=2∠BAC，所以有∠BAC=30°，∠ABC=60°，而∠PAE=30°，得到AE垂直平分PC，设BE=x，然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE：EB：BD的值；
（3）根据圆周角定理由弧AC=弧BC，得到∠CAB=∠APC，OC⊥AB，根据相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA，则 ，即AC2=PC•CE，利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8，即可得到CE•CP的值．
【解答】解：（1）PD与⊙O相切．理由如下：
连接OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠OPD=120°﹣30°=90°，
∵OP为半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）连BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ：  =1：2，
∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB﹣BE=3x，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x﹣x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2；

（3）如图，连接OC，
∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，
∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∴ ，即AC2=PC•CE，
∵A02+OC2=AC2=8，
∴PC•CE=AC2=8．
 
 
 
　
22．如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO=10，sin∠BOA= ．
（1）在图中，求作△ABO的外接圆（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；
（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不变，将点B沿x轴向右平移使得△ABO为等腰三角形，请求出平移后点B的坐标．
 
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）作OB，AB的垂直平分线交于一点M，以点M为圆心，MA为半径画圆，则圆M即为所求；
（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，由BO=10，sin∠BOA= ，得到BH=6，OH=8，求出点B的坐标为（8，6），根据OA=20，OH=8，求出AH=12，在Rt△AHB中，由BH=6，得到AB= =6 ，求出cos∠BAO= = ；
（3）①当BO=AB时，由AO=20，得到OH=10，点B沿x轴正半轴方向平移2个单位；
②当AO=AB′时，由AO=20，得到AB′=20，过B′作B′N⊥x轴，由点B的坐标为（8，6），得到B′N=6，AN= =2 ．求得点B沿x轴正半轴方向平移（2 +12）个单位，
③当AO=OB″时，由AO=20，得到OB″=20，过B″作B″P⊥x轴．由B的坐标为（8，6），得到B″P=6，OP= =2 ，点B沿x轴正半轴方向平移（2 ﹣8）个单位．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA= ，
∴BH=6，
∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），
∵OA=20，OH=8，∴AH=12，
在Rt△AHB中，∵BH=6，
∴AB= =6
∴cos∠BAO= = ；

（3）①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，
∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，
②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，
过B′作B′N⊥x轴，
∵点B的坐标为（8，6），
∴B′N=6，∴AN= =2 ．
∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 +12）个单位，
③当AO=OB″时，
∵AO=20，
∴OB″=20，
过B″作B″P⊥x轴．
∵B的坐标为（8，6），
∴B″P=6，
∴OP= =2 ，
∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 ﹣8）个单位，
综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2 +12）个单位，或（2 ﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形．
 
　
23．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
 
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，﹣5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．
②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．
【解答】解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴ ．
又∵A（﹣1，0），B（9，0），
∴ ，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，﹣3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），
∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a= ，
∴二次函数的解析式为y= （x+1）（x﹣9），
即y= x2﹣ x﹣3．

（2）∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，﹣5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得 
∴直线BD的解析式为y=x﹣9．
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y= x﹣3．

（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则  = ．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
因此，点Q1（7，﹣4）符合  = ，
∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y= x﹣ ．
解方程组 
得 
∴点P1坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）不符合题意，舍去．
②∵Q1（7，﹣4），
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合  = ．
∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．
解方程组 
得 ，
即 
∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．
解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，﹣3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y= x﹣3．
又∵DP1∥CB，
∴设直线DP1的解析式为y= x+n．
把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ ，
∴直线DP1解析式为y= x﹣ ．
解方程组 
得 
∴点P1坐标为（ ， ）或（ ， ）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y= x﹣3．
取x=4，得y=﹣ ，
∴M（4，﹣ ），
∴O′N=O′M= ，
∴N（ ，0），
又∵D（4，﹣5），
∴直线DN解析式为y=3x﹣17．
解方程组 
得 ，
 
∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．
解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，
又∵C（0，﹣3）
∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，
设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，
连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，
DG的解析式为y=3x﹣17，
解方程组 
得 ，
即 
∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．
∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．
2017年3月10日