2018中考总复习精练专题4：三角形、四边形综合性（宜宾有答案）

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来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m 专题四　三角形、四边形综合问题探究
 
1．(2017宜宾中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是 AB， AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．
2．(2016宜宾中考改编)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝210，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．
 
解：(1)四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，
∠EDF＝∠GBF，DF＝BF，∠EFD＝∠GFB，
∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四边形EBGD是菱形；
 
(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．
在Rt△EBM中，
∵∠EMB＝90°，
∠EBM＝30°，EB＝ED＝210，
∴E M＝12BE＝10.
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝10 ，
MN＝DE＝210.
在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，
∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝10，∴MC＝310，
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，
EM＝10，MC＝310，
∴EC＝EM2＋MC2＝（10）2＋（310）2＝10.
∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，
∴HG＋HC的最小值为 10.
3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，O M＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝12BC.
 
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝12BC ，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°.
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6.
由(1)有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6.
4．(2016宜宾中考模拟)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连结C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________；
(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时， 将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连结C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3)如 图③，在图②的基础上，连结B1B，若C1B1＝23BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________．
 
解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：
过点C1，作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.
由旋转性质可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，
∴∠C1B C＝∠C1EB，
∴C1B＝C1E.
∵BC1＝BC＝B1C，
∴C1E＝B1C.
又∵C1E∥B1C，
∴四边形C1ECB是平行四边形，
∴C1B1∥BC.
5．(2017沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连结BF.
(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1，
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．
 
解：(1)BF＝45；
(2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H.
∵四边形CEFG是正方形，
∴EC＝EF，∠FEC＝90°，
∴∠DEC＋∠FEH＝90°.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠FEH.
又∵∠EDC＝∠EHF＝90°，
∴△ECD≌△FEH，
∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1，
∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，
 ∴FH＝3，
即点F到AD的距离为3；
②延长FH交BC的延长线于点K，
∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK＝CD＝4，
∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.
∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，
∴AE＝DH＝CK＝1，
∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.
在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74；
(3)AE＝2＋41或AE＝1.
6．(2017福建中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
 
(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长；
(2)若AP＝2，求CF的长．
解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，AC＝AD2＋DC2＝10.
要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CP＝CD时，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD.
∵∠PC D＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝AC2＝5；
③当DP＝DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ.
∵S△ADC＝12AD•DC＝12AC•DQ，
∴DQ＝AD•DCAC＝245，
∴CQ＝DC2－DQ2＝185，∴PC＝2CQ＝365，
∴AP＝AC－PC＝145.
综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或145；
(2)连结PF，DE，记PF与DE的交点为O，连结OC.
∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
即∠ ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF.
∵∠BCD＝90°， OE＝OD，∴OC＝12ED.
在矩形PEFD中，PF＝DE，
 
∴OC＝12PF.∵OP＝OF＝12PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC.
又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝ 180°，
∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，
即∠PCD＋∠FCD＝90°.
在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF，
∴CFAP＝CDAD＝34.∵AP＝2，
∴CF＝3 24. 文 章
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