2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章函数及其图像第6节二次函数的实际应用精练试题

第六节　二次函数的实际应用
 
1．(河北中考)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝120x2(x>0)．若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(　C　)
A．40 m/s  B．20 m/s  C．10 m/s  D．5 m/s
2．一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(　C　)
A．1 m  B．5 m  C．6 m  D．7 m
3．凸四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC＋BD＝20.则当AC＝__10__时，此四边形面积有最大值为__50__．
 
4．(2016沧州 九中模拟)如图，隧道的截面由抛物 线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2 ＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172  m.
(1)求该抛物线的关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解：(1)y＝－16x2＋2x＋4.∴当x＝－b2a＝6时，y最大＝10，即拱顶D到地面OA的距离为10 m；
(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝223>6，∴能安全通过；
(3)令y＝8，即－16x2＋2x＋4＝8，可得x2－12x＋24＝0，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，x1－x2＝43.
答：两排灯的水平距离最小是43 m.

5．(鄂州中考)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(kg)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得80＝60k＋b，100＝50k＋b，解得k＝－2，b＝200.
∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)；
(2)由题意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6 450，∴所求函数的关系式为W＝－2x2＋260x－6 450(30≤x≤60)；
(3)W＝－2(x－65)2＋2 000.∵－2<0，对称轴为直线x＝65，∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大．∴当x＝60时，W有最大值为1 950 ，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1 950元．

 
6．(2017达州中考)宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人 甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝7.5x（0≤x≤4），5x＋10（4＜x≤14）.
 
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图像如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？
解：(1)根据题意，得：
∵若7.5x＝70，得：x＝283＞4，不符合题意：
∴5x＋10＝70，解得x＝12.
答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；
(2)由函数图像知，当0≤x≤4时，P＝40，当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，由题意，得4k＋b＝40，14k＋b＝50，解得k＝1，b＝36，∴P＝x＋36；
①当0≤x≤4时，W＝(60－40)•7.5x＝150x，
∵w随x的增大而增大，∴当x＝4时，w最大＝600元；
②当4＜x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10 )＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845，∴当x＝11时，w最大＝8 45，
∵84 5＞600，∴当x＝11时，W取得最大值为845元，∴w＝150x（0≤x≤4），－5x2＋110x＋240（4＜x≤14）.
答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．

7．(河北中考)某工厂生产一种合金薄板 (其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例．每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长(cm) 20 30
出厂价(元/张) 50 70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
(2)已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元．(利润＝出厂价－成本价)
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是－b2a，4ac－b24a]
解：(1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.由表格中的数据得50＝20k＋n，70＝30k＋n.解得k＝2，n＝10.∴y＝2x＋10；
(2)①设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题 意得P＝y－mx2＝2x＋10－mx2.将x＝40，P＝26代入P＝2x＋10－mx2中，得26＝2×40＋10－m×402.解得m＝125.∴P＝－125x2＋2x＋10；
②∵a＝－125<0，∴当x＝－b2a＝－22×－125＝25(在5～50之间)时，P最大值＝4ac－b24a＝4×－125×10－224×－125＝35.即出厂一张边长为25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．

8．(安徽中考)如图所示，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值 范围)
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
 
解：(1)当h＝2.6时，将点A(0，2)代入y＝a (x－6)2＋h，得36a＋2.6＝2，a＝－160，
∴ y与x的关系式为y＝－160(x－6)2＋2.6；
(2)当x＝9时，y＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；令y＝0，－160(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6－239(舍去)，x2＝6＋239＞18，∴球会出界；
(3)将A(0，2)代入y＝a(x－6)2＋h得36a＋h＝2，a＝2－h36； 当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＞2.43①；当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h≤0②，由①②得h≥83.