2016年中考数学真题汇编（19）与二次函数有关几何方面应用

一、选择题
1. （2016贵州省毕节市，14，3分）一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是（ 　 ）
 
【答案】D
【逐步提示】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是弄清二次函数和一次函数的图像与解析式之间的关系．先根据特殊点的位置及各直线所过的象限确定a的正负，再由抛物线的开口方向判断a的正负，若两者所得a的符号一致，则图象正确．
【详细解答】解：当x＝0时，都有y＝c，所以直线和抛物线都过点（0，c），排除A；对于B，由直线知a<0，由二次函数知a＞0，矛盾；对于C，由直线知a＞0，由二次函数图象知a＜0，矛盾，只有D符合，故选择D.
【解后反思】本题易错点是容易忽视特殊点的位置而误选A．多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像（如一次函数，反比例函数），再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．
【关键词】 一次函数的图象；二次函数的图象；

二、填空题
1. （2016江苏泰州，16，3分）二次函数 的图像如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为 个单位线段，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图像上，则点C的坐标为             .
  
【答案】 或
【逐步提示】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及等边三角形的性质、分类讨论的思想等知识，解决问题的关键是根据题意求出点C的纵坐标．
先根据“等边三角形的边长为 ”求出点C到x轴的距离，得点C的纵坐标，再分别代入二次函数表达式，求出相应的点C的横坐标，最后结合“点C落在该函数y轴右侧的图像上”进行取舍.
【详细解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在等边△ABC中，CA=AB= ，∠CAB=60°，则CD=CA•tan∠CAB=3，①当点C在x轴上方时，令 ，得 ， （舍去），∴C ；②当点C在x轴下方时，令 ，得 ， （舍去），∴C .故答案为 或 .
【解后反思】要能根据等边三角形的边长为 ，求出高长3；要知道分点C在x轴的上方和下方两种情况讨论；要能对所求的点C的横坐标进行取舍.
【关键词】等边三角形；象限坐标特征；一元二次方程的解法

三、解答题
1. （ 2016安徽，22，12分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2，4)与B（6,0）.
（1）求a,b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标X的函数表达式，并求S的最大值.
 

【逐步提示】（1）把已知的A(2，4)与B（6,0）代入只含有两个字母系数的二次函数y=ax2+bx,建立方程组可求a,b；（2）连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和，把得到的二次函数配方成顶点形式可求二次函数的最值.
【详细解答】解：（1）将A(2，4)与B（6,0）代入y=ax2+bx,得 ，解得 .…………5分
（2）如图过点A作x轴的垂线，垂足为D（2,0），连接CD,过点C作CE⊥AD于点E，CF⊥x轴于点F.S△OAD= ,S△ACD= =2x-4,
S△BCD= (- x2+3x)=-x2+6x.…………8分
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+（2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2＜x＜6),…………10分
因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时，四边形ABCD的面积S取最大值，最大值为16.……12分
 
【解后反思】1.已知函数图象经过的点的坐标求函数表达式一般用待定系数法；2.求四边形或多边形的面积一般是连接对角线把它转化为几个三角形的面积的和；3.求二次函数的最值，一般把二次函数配成顶点形式，结合自变量取值范围和抛物线的开口方向可解决问题.但要注意：若抛物线顶点横坐标的值不在自变量取值范围内，我们就需要结合函数图象的增减性质求出最值.
【关键词】 二次函数，待定系数法，配方法，二次函数的最值，三角形面积公式
2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，28，12分）如图，已知抛物线 经过A(3，0)，B(0，3)两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以 个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标，如果不存在，请简要说明理由．

  
图①                  图②
第25题图

【逐步提示】本题考查二次函数的图像和性质、动态问题、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用以及分类讨论和数形结合思想，（1）抛物线经过两个已知点，用待定系数法即可求出待定系数b和c；（2）这是一个动态问题，在运动的过程中，△AEF的形状在不断地改变，但是∠BAO始终是45°，所以△AEF为直角三角形应该分两种情况考虑：∠EFA=90°和∠FEA=90°，画出相应的图形，利用相似三角形或三角函数列方程求解；
（3）求最大面积，很自然想到构建函数关系，但是不论选哪一条边作为三角形的底，均要作这条边上的高，这两者均难以表示，所以用代数式直接表示△ABP的面积十分困难，因此想到求面积的常用方法：割补法，过点P作一条平行于y轴的直线，将△ABP分割成两个三角形，分别用含有点P的横坐标x的代数式表示两个三角形的面积，构建函数求最大值．
【详细解答】解：（1）设直线AB的解析式为  ，                1分
把A(3，0)，B(0，3)代入，  得   ,   解得    
∴ 直线AB的解析式为                        2分
把A(3，0)，B(0，3) 代入  中，
得    , 解得 
∴ 抛物线的解析式为  ．          3分
（2）∵ OA=OB=3，∠BOA=90°，∴ ∠EAF=45°．
设运动时间为t秒，则AF= t，AE=3－t．       4分
（i）当∠EFA=90°时，如图①所示：
在Rt△EAF中， ° ，即 ．
解得  t =1.                                   5分

(ii) 当∠FEA=90°时，如图②所示：
在Rt△AEF中， ° ，
即   ．
解得  t = ．
综上所述，当t =1或t = 时，△AEF是直角三角形．                        6分
（3）存在. 如图③，过点P作PN∥ 轴，交直线AB于点N，交x轴于点D.
过点B作BC⊥PN交PN于点C．
设点P（ ， ），则点N（ ， ）
∴ PN= ．                           7分
∴ 
¬¬¬¬     =               8分
=
         =                  9分
当 时，
△ABP的面积最大，最大面积为 ． 
此时点P( ， )．                     10分

【解后反思】第（1）小题是一条常规的利用待定系数法求二次函数解析式的题，难度不大，构建方程组求解即可；第（2）小题是动态问题，动态问题往往情况不唯一，因此要使用分类讨论的数学思想，此题列方程求解，这里采用了三角函数的方法，也可以利用△AEF与△AOB相似来列方程；对于动态问题，一般性的解题策略是：分类讨论、勤画图形、化动为静、各个击破；第（3）小题是求最值的问题，利用割补法把三角形分成两个三角形，巧妙地假设点P的横坐标为x，利用铅垂高表示出三角形面积的函数关系式，然后利用二次函数求出面积的最大值，有时候利用铅垂高来求三角形的面积不失为一种好的方法．
【关键词】二次函数的表达式；二次函数的图像和性质；相似三角形的判定和性质；三角函数；割补法；配方法；分类讨论；

3. （2016甘肃兰州，28，10分）如图1，二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A(3，0)，B(0，4)两点，点P从P出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）
 
        图1                                      图2
    （1）求二次函数y=-x2+bx+c的表达式；
   （2）连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；
（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动，当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动．连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围．
【逐步提示】（1）用待定系数法求二次函数y=-x2+bx+c的表达式；
（2）第一步：先求AP，再利用勾股定理求AB、BP；
第二步：先利用三角形一边的平行线性质求OD，再y= 列方程求C的坐标及DC的长；
第三步：通过△BDP∽△BOA求DP、PC，最后根据三角形面积公式求S△BCP；
（3）第一步：确定运动时间的范围，过P作PF⊥OA于F，根据三角形相似性质用t的代数式表示PF与DP；
第二步：确定分界点的运动时间，根据三角形相似性质用t的代数式表示EQ,根据EQ与PF的关系列方程求得分界点的时间；
第三步：分0≤t≤ 与 ≤t≤ 时两种情况讨论，①0≤t≤ 时，根据三角形面积公式用t的代数式表示S，得到表达式；
第四步：② ≤t≤ 时，先通过△DOQ∽△HJD找到HJ与JD的关系，再通过△HJP∽△BOA找到JP与JD的关系，最后，借助JP+JD=DP将JD、HJ用t的代数式表示；
第五步：根据三角形面积公式用t的代数式表示S，得到表达式．
【详细解答】解：（1）∵y=-x2+bx+c过A(3，0)，B(0，4)，
∴ ，解得 ，∴解析式为y=-x2+ x+4；
（2）当t= 时，AP=2× = ，∵A(3，0)，B(0，4)，∴OA=3，OB=4，AB= ，BP=AB-AP= ，
∵CP∥AO，∴ ，即 ，∴OD= ，
当y= 时，-x2+ x+4= ，
解得x1=-1，x2= ，∴C(-1， )，∴DC=1，∵CP∥AO，
∴△BDP∽△BOA，∴ ，∴ ， ，∴DP=2，
PC=CD+DP= 3，∴S△BCP= PC×BD= ；