昆明市2016年高二数学下学期期末联考试卷（文科有解析）

2015-2016学年云南省昆明市九校联考高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（　　）
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．复数z= 的共轭复数是（　　）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．若tanα=2，则sin2α=（　　）
A．  B．  C．  D．
4．已知数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则a4=（　　）
A．7 B．9 C．15 D．17
5．已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）=x2﹣2x在区间[ ）上单调递增，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∧（¬q） D．（¬p）∨q
6．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（　　）
 
A．3 B．5 C．7 D．15
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（　　）
 
A．  B．  C．  D．1
8．已知函数 =（　　）
A．﹣1 B．  C．  D．
9．在区间[﹣2，2]内任取一个整数x，在区间[0，4]内任取一个整数y，则y≥x2的概率等于（　　）
A．  B．  C．  D．
10．把函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移 个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ可以为（　　）
A．  B．  C．  D．
11．已知双曲线C：  =1（a＞0，b＞0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，若 ，∠MA1N=135°，则双曲线C的离心率为（　　）
A．  B．2 C．  D．
12．f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x0）=0，则点（ ）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）= ，则f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=（　　）
A．1008 B．2014 C．2015 D．2016
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．已知向量 ， 满足| ，| ﹣ |= ， ， 的夹角为 ，则| |=　　　　　　．
14．某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于区间[112，116]的有　　　　　　株．
 
15．设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值是　　　　　　．
16．球面上四点A，B，C，D满足AB=1，BC= ，AC=2，若四棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，则这个球体的表面积为　　　　　　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=2，S5=15．
（Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2an﹣an，求{bn}的前n项和Tn．
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosA﹣bsinC=0．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 ，b+c=5，求a．
19．如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）
年份 2011 2012 2013 2014 2015
年份代码 1 2 3 4 5
快递业务总量 34 55 71 85 105
（Ⅰ）在图中画出所给数据的折线图；
（Ⅱ）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
斜率： ，纵截距： ．
 
20．如图，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MN∥BC．
（Ⅰ）证明：平面AMN⊥平面PBA；
（Ⅱ）若M为PB的中点，且PA=1，求点D到平面AMC的距离．
 
21．已知椭圆C：  =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点P（1， ）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设E，F为椭圆C上的两点，O为坐标原点，直线OE，OF的斜率之积为﹣ ．求证：三角形OEF的面积为定值．
22．已知函数f（x）= +3lnx，g（x）=x+a（a∈R）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有唯一解，试求实数a的取值范围．
　
 

2015-2016学年云南省昆明市九校联考高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（　　）
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，
解得：1＜x＜3，即B=（1，3），
∵A={0，1，2，3}，
∴A∩B={2}，
故选：A．
　
2．复数z= 的共轭复数是（　　）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
【解答】解：复数z= = = =﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
　
3．若tanα=2，则sin2α=（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．
【解答】解：∵tanα=2，则sin2α= = = = ，
故选：D．
　
4．已知数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则a4=（　　）
A．7 B．9 C．15 D．17
【考点】数列递推式．
【分析】a1=1，且an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a1=1，且an+1=2an+1，
变形为an+1+1=2（an+1），
∴数列{an+1}是等比数列，首项与公比都为2．
∴an+1=2n，即an=2n﹣1，
则a4=24﹣1=15．
故选：C．
　
5．已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）=x2﹣2x在区间[ ）上单调递增，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∧（¬q） D．（¬p）∨q
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用函数的性质先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：a2≥0（a∈R），是真命题．
命题q：函数f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在区间[1，+∞）上单调递增，在区间[ ）上不单调，因此是假命题．
则下列命题中为真命题的是p∨q，
故选：B．
　
6．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（　　）
 
A．3 B．5 C．7 D．15
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的t的值，当t的值不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0时退出循环，输出即可得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
t=﹣1，
不满足条件t＞0，t=0，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，
不满足条件t＞0，t=1，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，
满足条件t＞0，t=3，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，
满足条件t＞0，t=7，不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，退出循环，输出t的值为7．
故选：C．
　
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（　　）
 
A．  B．  C．  D．1
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面是正方形且与一个侧面垂直．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面是正方形且与一个侧面垂直．
∴该几何体的体积= = ．
故选：A．
　
8．已知函数 =（　　）
A．﹣1 B．  C．  D．
【考点】对数的运算性质．
【分析】由分段函数的第二段求出f（ ）=﹣1，代入第一段进一步求值．
【解答】解：∵ ，
∴ ．
则 ．
故选D．
　
9．在区间[﹣2，2]内任取一个整数x，在区间[0，4]内任取一个整数y，则y≥x2的概率等于（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一个矩形区域，做出面积，看出满足条件的事件对应的面积，根据几何概型公式得到结果
【解答】解：由题意区间[﹣2，2]内任取一个实数x，在区间[0，4]内任取一个实数y，（x，y）满足的区域是一个边长为4的正方形，面积为16，
在此范围务内使y≥x2的如图中阴影部分，
面积为2 （4﹣x2）dx=2×（4x﹣ x3）| = ，
由几何概型的个数得到概率 =
 
　
10．把函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移 个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ可以为（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．
【解答】解：把函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=cos[2（x+ ）+φ=cos（2x+φ+ ），
结合所得图象关于y轴对称，可得φ+ =kπ，即φ=﹣ +kπ，k∈Z，则φ可以为﹣ ，
故选：B．
　
11．已知双曲线C：  =1（a＞0，b＞0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，若 ，∠MA1N=135°，则双曲线C的离心率为（　　）
A．  B．2 C．  D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据抛物线和双曲线的位置关系，得到抛物线的准线方程为x=﹣a，由∠MA1N=135°，得三角形MA1A2是等腰直角三角形，从而得到b=2a，进行求解即可．
【解答】解：∵抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．
∴抛物线的准线方程为x=﹣a，
∵ ，∴MA2⊥x轴，
设渐近线为y= x，则当x=a时，y=b，即M（a，b），
∵∠MA1N=135°，
∴∠MA1A2=45°，
即三角形MA1A2是等腰直角三角形，
则 MA2=A1A2，即b=2a，
则c= = a，
则离心率e= = ，
故选：A．
 
　
12．f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x0）=0，则点（ ）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）= ，则f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=（　　）
A．1008 B．2014 C．2015 D．2016
【考点】导数的运算．
【分析】根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）的对称中心，得到f（1﹣x）+f（x）=2，即可得出．
【解答】解：依题意，得：f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1．
由f″（x）=0，即2x﹣1=0．
∴x= ，
∴f（ ）=1，
∴f（x）的对称中心为（ ，1）
∴f（1﹣x）+f（x）=2，
∴f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=2016．
故选：D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．已知向量 ， 满足| ，| ﹣ |= ， ， 的夹角为 ，则| |=　2　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量模长公式，利用平方转化为向量数量积的公式进行求解即可．
【解答】解：∵向量 ， 满足| ，| ﹣ |= ， ， 的夹角为 ，
∴平方得| |2+| |2﹣2 • =7，
即1+| |2﹣2| |cos =7，
则| |2+| |﹣6=0，
得| |=2或| |=﹣3（舍），
故答案为：2．
　
14．某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于区间[112，116]的有　11　株．
 
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图，利用频率= ，即可求出对应的值．
【解答】解：根据频率分布直方图知，在区间[100，104）内的频率为0.02×4=0.08，频数为4，
所以样本容量为 =50；
所以在区间[112，116]内的频率为1﹣（0.02+0.075+0.1）×4=0.22，
频数为50×0.22=11，即有11株．
故答案为：11．
　
15．设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值是　 　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由 ，解得 ，即B（ ， ），
代入目标函数z=2x+y得z=2× + = ．
即目标函数z=2x+y的最大值为 ．
故答案为：
 
　
16．球面上四点A，B，C，D满足AB=1，BC= ，AC=2，若四棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，则这个球体的表面积为　 　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】确定AB⊥AC，S△ABC= ，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为3，可得D到平面ABC的最大距离为3，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：∵AB=1，BC= ，AC=2，
∴AB⊥BC，S△ABC= ，
∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为 ，
∴D到平面ABC的最大距离为3，
设球的半径为R，则12=3×（2R﹣3），
∴R= ，
∴球O的表面积为4πR2= ．
故答案为：
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=2，S5=15．
（Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2an﹣an，求{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）根据题目条件等差数列{an}中，a2=2，S5=15，可求得其首项与公差，从而可求得数列{an}的通项公式；
（II）求出bn的通项公式，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求得Tn的值．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则由已知得： ，
解得 ，
所以an=a1+（n﹣1）d=n，）
（Ⅱ）因为
所以 ，
Tn=b1+b2+…+bn=（21﹣1）+（22﹣2）+…+（2n﹣n）=（21+22+…+2n）﹣（1+2+…+n），
 
　
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosA﹣bsinC=0．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 ，b+c=5，求a．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由2csinBcosA﹣bsinC=0及正弦定理求得2cosA=1，即 ，从而求得A的值．
（Ⅱ）由 ，求得bc=4，再由余弦定理求得a2的值，可得a的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由2csinBcosA﹣bsinC=0及正弦定理得：2sinCsinBcosA﹣sinBsinC=0，
∵0＜B＜π，0＜C＜π，sinBsinC≠0，
∴2cosA=1，即 ．
又0＜A＜π， ．
（Ⅱ） ，又∵ ，∴ ，∴bc=4，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=25﹣12=13，
∴ ．
　
19．如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）
年份 2011 2012 2013 2014 2015
年份代码 1 2 3 4 5
快递业务总量 34 55 71 85 105
（Ⅰ）在图中画出所给数据的折线图；
（Ⅱ）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
斜率： ，纵截距： ．
 
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）根据表中所给的数据，得到点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图；
（Ⅱ）先求出年份代码x和快递量y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；
（Ⅲ）先求得2016年对于的年份代码，代入线性回归方程，即可求得该市2016年的快递业务总量．
【解答】解：（Ⅰ）所给数据的折线图如下：
 
…
（Ⅱ）可得 ， ，
 ，
= ， ，
∴y与x的回归模型为： ．…
（Ⅲ）把2016年的年份代码x=6代入回归模型得 （百万件），
∴预计该市2016年的快递业务总量约为121.6百万件．…
　
20．如图，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MN∥BC．
（Ⅰ）证明：平面AMN⊥平面PBA；
（Ⅱ）若M为PB的中点，且PA=1，求点D到平面AMC的距离．
 
【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由MN∥BC，BC∥AD，得MN∥AD．由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．结合AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PBA，即可证得MN⊥平面PBA，又MN⊂平面AMN，即可证得结论；
（2）由几何关系进行计算，运用等体积法是解题的关键．
【解答】（Ⅰ）证明：∵MN∥BC，BC∥AD，∴MN∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又∵AD⊥AB，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PBA，
∴MN⊥平面PBA，
又∵MN⊂平面AMN，
∴平面AMN⊥平面PBA．　　　　　　…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PBA，又∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBA，∴BC⊥BM，
∵M为PB的中点，
∴在Rt△MBC中， ，BC=1，
∴ ，
由题意可得 ， ，
∴AM2+AC2=MC2，
∴△AMC是直角三角形设点D到平面AMC的距离为h，
∵VM﹣ADC=VD﹣AMC，
∴ ，
∴ …
　
21．已知椭圆C：  =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点P（1， ）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设E，F为椭圆C上的两点，O为坐标原点，直线OE，OF的斜率之积为﹣ ．求证：三角形OEF的面积为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：  =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点P（1， ）在椭圆C上，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合直线OE，OF的斜率之积为﹣ ，表示出三角形OEF的面积，即可证明三角形OEF的面积为定值．
【解答】（Ⅰ）解：因为点 在椭圆C上，椭圆 的右焦点F2（1，0），
所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ．…
（Ⅱ）证明：当直线EF斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x1，y1），F（x2，y2），
联立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ，… =
由 得 ，即2m2=2k2+1，…
原点到直线EF的距离为
所以 =
= = = ，
当直线EF斜率不存在时， ，x1=x2，y1=﹣y2，所以 ，
又 ，解得 ， ．
所以三角形OEF的面积为定值．…
　
22．已知函数f（x）= +3lnx，g（x）=x+a（a∈R）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有唯一解，试求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得所求切线的方程；
（Ⅱ）方程f（x）=g（x）有唯一解 有唯一解，设 ，求得导数和单调区间、极值，作出图象，求出直线y=a和y=h（x）的图象的一个交点的情况，即可得到所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵ ，又f（1）=2，
可得切线的斜率k=f'（1）=1，
切线方程为y﹣2=x﹣1，即x﹣y+1=0；
（Ⅱ）方程f（x）=g（x）有唯一解 有唯一解，
设 ，
由题意可得，当x＞0时，函数y=h（x）与y=a的图象有唯一的交点．
∵ ，
令h'（x）=0，得x=1，或x=2，h（x）在（1，2）上为增函数，
在（0，1）、（2，+∞）上为减函数，
故h（x）极小值=h（1）=1，h（x）极大值=h（2）=3ln2﹣1，
如图可得a＜1，或a＞3ln2﹣1．
 
　
2016年8月2日