2017年黄冈市高二数学下期末考试题（理含答案)

2017学年黄冈市高二（下）期末试题
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1. 设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝(　　)
A. [－4，－2]    B. (－∞，1]    C. [1，＋∞)    D. (－2，1]
【答案】B
【解析】由题意可得：  ，且  ，
则  ，即  .
2. 已知复数 ，则复数 的虚部为（   ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
则复数 的虚部为 .
本题选择D选项.
3. 随机变量 ～ ，若 ，则 为（    ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】 ， ，故选D．
4. 若 个人报名参加 项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（    ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】四名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3= 种不同的报名方法，故选C
5. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费  2 3 4 5 6
销售额  29 41 50 59 71

由上表可得回归方程为 ，据此模型，预测广告费为8万元时的销售额约为（    ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】 由题意得， ，
 将点 代入 ，解得 ，即 ，
当 时， ，故选D.
6. 从 中不放回地依次取 个数，事件 表示“第 次取到的是奇数”，事件 表示“第 次取到的是奇数”，则 （   ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】试题分析：由题意， ，∴ ，故选D．
考点：条件概率与独立事件．
7. 已知函数  ，则  的图象大致是(   ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】试题分析： ,故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当 时， , 排除C，只有A适合，故选：A．
考点：函数的图像和性质
8. 如图，长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 经过点B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为(   )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】由定积分可得，阴影部分的面积为：  ，
由几何概型公式可得：  .
本题选择A选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)= .
9. 若 且 ，则 和 的值满足（    ）
A.  和 都大于2    B.  和 都小于2
C.  和 中至少有一个小于2    D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】假设 和  同时成立.
因为x＞0，y＞0，
所以1+x≥2y，且1+y≥2x，
两式相加得1+x+1+y≥2(x+y)，
即x+y≤2，这与x+y＞2相矛盾，
因此 和 中至少有一个小于2.
本题选择C选项.
点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
10. 2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（    ）
A. 25﹪    B. 50﹪    C. 70﹪    D. 75﹪
【答案】C
【解析】  ，且：  ，
据此估计生物体内碳14的含量应最接近于70﹪.
本题选择C选项.
11. 对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： .仿此，若 的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为(    )
A. 44    B. 45    C. 46    D. 47
【答案】C
 
2017从3开始的第1008个奇数，
据此可得  .
本题选择C选项.
12. 已知函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（   ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】令 可得： ，...
令 ,
令 ,
则在区间 上 单调递减，在区间 上g(x)单调递增，
 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，当 时， ， .
本题选择C选项.
 
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________
【答案】
【解析】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
  .
点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
14. 已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程是_________
【答案】
【解析】由题意可得：  ，令  可得：  ，
即：  ，
且：  ，
切线过点  ，斜率为  ，则切线方程为  .
15. 设 ，则 等于______________
【答案】135
【解析】解：  ，
当  时，可得：  .
16. 先阅读下面的文字：“求 的值时，采用了如下的方式：令 ，则有 ，两边平方，可解得 =2（负值舍去）”。那么，可用类比的方法，求出 的值是________．
【答案】 
【解析】试题分析：由题观察可类比得;
考点：类比推理.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）...
17. 已知定义在 上的函数 是奇函数．
⑴求 的值，并判断函数 在定义域中的单调性（不用证明）；
⑵若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】⑴ ；⑵ .
【解析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求 的值；(2)根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.
试题解析：⑴∵ 是定义在 上的奇函数，
∴ ，∴ ．
∴ ， ，∴ ，
即 对一切实数 都成立．
∴ ，∴ ．
⑵不等式 等价于 ．
又 是 上的减函数，∴ ．
∴ 对 恒成立，
∴ ．
即实数 的取值范围是 ．
考点：函数的奇偶性和单调性.
【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数 在区间上单调递增，则 时，有 ，事实上，若 ,则 ，这与 矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当 时有 ；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域 .
18. 为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
 优秀 非优秀 总计
男生 40 20 60
女生 20 30 50
总计 60 50 110

（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 ，若随机变量 表示这3人中通过预选赛的人数，求 的分布列与数学期望．
附: ＝
  0．500 0．400 0．100 0．010 0．001
  0．455 0．708 2．706 6．635 10．828

【答案】（1）有 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，
【解析】试题分析：（1）利用公式计算得 ，故有 把握；（2） 的可能取值为 ，且 满足二项分布 ，由此求得分布列和期望．
试题解析：
（1）
因为  
所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．
（2） 的可能取值为0，1，2，3
 ，
 
 
所以 的分布列为：
X
 0
 1
 2
 3 
 
因为 ，
所以
考点：1．独立性检验；2．二项分布．
19. 如图,某段铁路AB长为80公里， ,且 公里，为将货物从A地运往C地,现在AB上的距点B为x的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元.
（1）将总运费y表示为x的函数.
（2）如何选点M才使总运费最小？
 
【答案】（1） ；（2）当在距离点 为 公里时的点 处修筑公路至 时总运费最省．
【解析】试题分析：（1）有已知中铁路 长为 ，且 ，为将货物从 运往 ，现在 上距点 为 的点 处修一条公路至 ，已知单位距离的铁路运费为 ，公路运费为 ，我们可以计算公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由 到 的总运费；（2）由（1）中所得的总运费 表示为 的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，以及憨厚的最小值点，得到答案.
试题解析：（1）依题中，铁路 长为 ,且 ,将货物从 运往 ,现在 上的距点 为 的点 处修一公路至 ,且单位距离的铁路运费为 ,公路运费为 .
 铁路 上的运费为 ,公路 上的运费为 ,
则由 到 的总运费为 .
（2） ,令 ,解得 ,或 （舍）.
当 时, ；当 时, ；...
故当 时, 取得最小值, 即当在距离点 为 时的点 处修筑公路至 时总运费最省.
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数求解函数的极值与最值问题，本题的解答中，根据题意列出 到 的总运费为的函数关系式是关键，再利用导数研究函数的单调性及求解函数的极值、最值，着重考查了分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，属于中档试题.
20. 已知数列 的前 项和为 ，且
（1）试求出 ，并猜想 的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 的表达式。
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）先根据数列的前 项的和求得 ，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出 ；（2）利用数学归纳法证明猜想成立，由 可直接求出 的表达式.
试题解析：（1）解：
 `猜想
证明：（1）当 时， 等式成立。
假设当 时，等式成立，即 。当 时，
 ，∴ 
 
 时，等式也成立。
综上1）2）知，对于任意 ， 都成立。
又
点睛：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，归纳推理与数学归纳法证明等式等问题；数学归纳法的注意事项：①明确初始值 并验证真假； ②“假设 时命题正确”并写出命题形式；③分析“ 时”命题是什么，并找出与“ ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.
21. 设函数 ．
（1）求 的极值；
（2）当 时，试证明： ．
【答案】（1） 极大值= ；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：
(1)首先求解导函数，然后利用导函数的性质讨论函数的单调性求解极值即可；
(2)构造函数 ，利用不等式的特点结合新构造的函数进行证明即可得出结论.
试题解析：
（1）函数 定义域为 ，
                           
当 时， ，         
所以当 时， 极大值= ．函数 无极小值。      ...
（Ⅱ）要证 ，只需证 ，  
只需证                                  …
设 ，则               
由（1）知 在 单调递减
 即 在 上是减函数，而
 ，故原不等式成立
22. 选修4 4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 的方程为 ，点 ．以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，求 的值．
【答案】（1） （为参数）， ；（2） .
【解析】试题分析：（1）利用条件，求得直线 的参数方程，把曲线 的方程为 化为直角坐标方程； （2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果.
试题解析：（1）∵化为直角坐标可得 ， ，
∴直线 的参数方程为：
∵ ，
∴曲线 的直角坐标方程： ，得： ，
∴ ， ，
∴ ．
考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．
23. 选修4 5：不等式选讲
设函数 ，不等式 的解集是 ．
（1）求实数 的值；
（2）若 对一切 恒成立，求 的范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】试题分析：（1）利用公式法解绝对值不等式，根据条件建方程，求得 ；（2）通过三角绝对值不等式求函数的最值.
试题解析：（1）由题意可知 ， ，解得 ，
∵不等式 的解集是 ，
∴ 解得 ．
（2）∵ ，
∴     ，...
当 时， ，
∴ ．
考点：绝对值不等式的有关知识和综合运用．