高考数学好题速递400题(第201—250题含答案和解释)

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高考数学好题速递400题(第201—250题含答案和解释)

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好题速递201题
解析几何模块4.已知曲线 的方程 , ,存在一定点 和常数 ,对曲线 上的任意一点 ,都有 成立,则点 到直线 的最大距离为                 .
解法一:由 得

故 ,将 代入 得 ,得 ,
又直线 恒过定点 ,所以由几何性质知点 到直线 的最大距离为点 与 的距离为
解法二:作为小题,由 知是阿氏圆轨迹,故取圆 直径上的两个点 ,即可得 ,解得 ,
好题速递202题
解析几何模块5.已知 是 的对称轴和准线的交点,点 是其焦点,点 在该抛物线上,且满足 ,当 取得最大值时,点 恰在以 、 为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为                   .
解:作 ,由抛物线定义
 ,其中
要使 取得最小值,即 最小,即 最大值,即 最小,此时 是抛物线的切线.
设 的方程为 ,
与 联立得
因为相切,故 ,解得
故 ,
由 ,得


好题速递203题
解析几何模块6. 已知斜率为1的直线 过双曲线 的左焦点 ,且与双曲线左、右支分别交于 两点,若 是线段 的中点,则双曲线的离心率为              .
解:由题意知
 
 
所以 ,所以


好题速递204题
解析几何模块7. 已知点 是双曲线 上的动点, 是其左、右焦点, 坐标原点,若 的最大值是 ,则此双曲线的离心率是               .
 解:设 ,则
又 ,所以
所以
 
所以
所以 的最大值在 时取到,所以
所以 ,即


好题速递205题
解析几何模块8.在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,直线 与圆 相交于 两点, 为弦 上一动点,以 为圆心,2为半径的圆与圆 总有公共点,则实数 的取值范围是           .
解:两圆有公共点的充要条件是 ,而 恒成立,故只要 时两圆必有公共点.由平面几何知识可知, 为点 到直线 的距离 ,所以 ,解得

好题速递206题
解析几何模块9.已知点 , ,若圆 上存在一点 ,使得 ,则 的最大值为                    .
解:由 得 在以 中点 为圆心, 为半径的圆上,所以 的轨迹方程为 ,所以圆 的半径为 ,又由 在圆 上, 的圆心 ,半径为1,当圆 与圆 内切时, 最大为

 

 

好题速递207题
立体几何模块1.如图,在正方体 中, 是棱 的中点, 是侧面 上的动点,并且 平面 ,则动点 的轨迹是(        )
A.圆         B.椭圆         C.抛物线         D.线段
解:如图,取 的中点 , 的中点 ,显然可证明平面 平面 ,当 在线段 上时,均有 平面 ,即动点 的轨迹是线段 。
点评:善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。例如,考虑“线线平行”时,可转化为“线面平行”或“面面平行”;考虑“线面平行”时,可转化为“线线平行”或“面面平行”;考虑“面面平行”时,可转化为“线线平行”或“线面平行”。
在斜二测画法画图时,平行关系不会改变,因为要找平行线,可以考虑在图象上推平行线,然后关注哪个位置看起来比较特殊,例如中点,中位线之类。


好题速递208题
立体几何模块2.如图,在三棱柱 的侧棱 与 上各有一个动点 , ,且满足 , 是棱 上的动点,则 的最大值是                .
解法一:设 ,则
(注:这里用到了梯形 的面积与 的面积相等。)
即 与 重合时, 最大,
解法二:设 , 为定值,则 是关于 的增函数
所以

好题速递209题
立体几何模块3.已知线段 ,且 与平面 的距离为4,点 是平面 上的动点,且满足 ,若 ,则线段 长度的取值范围是               .
解:如图,将线段 投影到平面 上,得到射影 ,将空间问题平面化,则动点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,
又 , , ,
所以 ,即
好题速递210题
立体几何模块4.已知 为正方体 对角线 上的一点,且 ,下面结论:
① ;②若 平面 ,则 ;③若 为钝角三角形,则 ;
④若 ,则 为锐角三角形.
其中正确结论的序号为                   .
解:在正方体 中, 平面 ,又 平面 ,故 ,①正确;
由题可知 ,若 平面 ,则
设正方体的棱长为1,则 , , ,在 中,
所以 ,所以 ,②正确;
在正方体 中,以 为 轴, 为 轴, 为 轴建系,设棱长为2,则
设 ,由 ,得
所以 , ,
若 为钝角三角形,则 为钝角, ,解得 ,③错;
同理,当 时, ,所以 为锐角三角形,④正确。
所以正确结论为①②④。

好题速递211题
立体几何模块5.如图,在棱长为1的正方体 中,若点 是棱上一点,则满足 的点有               个.
解:点 既在以 为焦点,长轴为2的椭球上,又在正方体的棱上。
因为 ,故点 在以 为焦点,长轴为2的椭球外,所以椭球必与线段 相交(交点就是 的中点),同理在 上各有一个交点满足条件
又若点 在 上,则 ,故 上不存在满足条件的点 ,同理 上也不存在满足条件的点 。
好题速递212题
立体几何模块6.将一个长宽分别为 的铁皮的四个角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体的盒子(不计粘合处),若这个长方体的外接球的面积存在最小值,则 的取值范围是                  .
解:设切去的小正方形的边长为 ,长方体的外接球的半径为

因为长方体的外接球的面积存在最小值,所以 ,解得

好题速递213题
在直角梯形 中, , , , ,动点 在以 为圆心且过点 的圆内运动(不含边界),设 ,则 的取值范围是                  .
解:建立直角坐标系, ,  , , ,
由 得
动点 在 内运动,所以
求目标函数 的取值范围是

好题速递214题
在曲线 上任取 两点,则 的最小值为                .
解:记 ,则
且 , ,
同时满足 ,即 ,
 
当且仅当 时取得“=”,故 的最小值为2.
好题速递215题
已知函数 是定义在 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 都有 ,则                 .
解:令 ,则 ,所以
令 ,则
当 时,由 得
则 ,故


好题速递216题
已知实数 ,设函数 的两个零点分别为 ,则下列关系中恒成立的是(        )
(A)                    (B)
(C)                    (D)
解: 的两个零点,
即 的两个零点
因为 开口向上, ,又 ,所以
即函数 的零点一个大于 ,一个小于 ,且 ,
所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知 ,选C

 

好题速递217题
已知点 在抛物线 上,若 的三个顶点都在抛物线 上,记三边 所在直线的斜率分别为 ,则               .
解: ,设 ,
所以
点评:抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是基于抛物线上的点的设法 ,在化简过程中利用好平方差公式,可以使得计算简便。这个过程要做到比较熟练。


好题速递218题
已知函数 与函数 在区间 上都有零点,则 的最小值为                           .
解:由题意知, ,两式相加得
 ,两式相加得
所以
当且仅当 时取得等号。
点评:这里用到了基本不等式,如果一下子看不出来,也可以先利用齐次化思想,将分子分母同除以 ,令 ,将式子简化,就容易发现了。

好题速递219题
已知函数 ,若 在 上既有最大值又有最小值,且最大值与最小值的和为4,则                 .
解:
已知 在 上既有最大值又有最小值,故
又 是奇函数,且最大值与最小值的和为4,则 ,

好题速递220题
对于函数 ,如果存在区间 ,同时满足下列条件:① 在 内是单调的;②当定义域是 时, 的值域也是 ,则称 是该函数的“和谐区间”.若 存在“和谐区间”,则 的取值范围是               .
解:因为 在 和 上是增函数,所以 或 ,且 ,
因此 是方程 的两个不相等且同号的实数根,即 有两个不相等且同号的实数根
又 且 ,故只需 ,解得
又 ,故

好题速递221题
已知以 为周期的函数 ,其中 ,若 恰有5个实数解,则 的取值范围是               .
解:当 时,原函数式化为方程 ,表示一个半椭圆,当 时,是两线段 和 组成的折线,再根据周期性画出大致图象如图所示。
由图象可知,当直线 与第二个半椭圆 相交,而与第三个半椭圆 无交点时,方程 恰有5个实数解,
由方程组 消去 得
由 ,解得
由方程组 消去 得
由 ,解得 ,所以
好题速递222题
(2015重庆理科第16题)若函数 的最小值为5,则  ________.
解法一:按照 两类分类讨论,画出 的折线图,图象最低点的纵坐标为5,求得 或
解法二:由题意得 ,从而

 的图象是以 为顶点的开口向上的“V”形图。
 的图象是以 为顶点的开口向下(开口比 的图象开口大)的“V”形图,且与 轴交点的坐标为 。
当 或 时, ,所以若函数 的最小值为5,则 或

好题速递223题
若动点 在直线 上,动点 在直线 上,设线段 的中点为 ,且 ,则 的取值范围是________.
解法一:设点 满足 ,点 满足
两式相加得点 的轨迹是直线
同时点 满足
所以满足条件的点 在线段 上,其中点 , 分别为直线 与圆 的交点, 表示线段 上的点与坐标原点连线距离的平方,所以当 运动到 或 时, 取得最大值为16,当 运动到圆心 时, 取得最小值为8,故
解法二:将 代入 ,得到
将 代入 得

好题速递224题
★设反比例函数 与二次函数 的图象有且仅有两个不同的公共点 , ,且 ,则                   .
解: 与 的图象有且仅有两个不同的公共点
 方程 有两个不同的实数根
 方程 有两个不同的实数根
三次方程仅有两个实根,故必有一个是一次根,一个是重根。
 方程 或
对于第一种情况,等式两边展开比较系数得 , ,
故 ,因为 ,所以 ,
 
对于第二种情况,等式两边展开比较系数得 , ,
故 ,因为 ,所以 ,但由 知 ,与 矛盾,故舍去。
点评:本题是自山东高考题改编而来,解法中运用了三次方程求根的因式分解,奇次根穿过与偶次根反弹的问题。浙江高考曾多次考过类似的问题,值得注意。例如:
(2014浙江文7)已知函数 ,且 ,则
A.          B.            C.             D.
解:方程 的三个根为 ,

比较系数得 ,故
(2012浙江理17)设 ,若 时均有 ,则 ____.
解: ,且 ,因为 对 恒成立,则 必是二重零点
代入得: ,解之得: ,舍去 ,得答案:
(2013浙江文16)设 ,若 时恒有 ,则      。
【解析】当 时,有 ,所以得 ,代回原式
 
故 必定是重根,即 中必有因子 ,所以 ,所以
点评:这三道题都是加深零点意义理解的好题。零点就像是x轴上的守门员,关系着函数正负性变化的重任,“奇重零点穿过,偶重零点反弹”。
好题速递225题
设 是正实数,且 ,则 的最小值是________.
解:设 , ,则题目变为“已知 ,求 的最小值。
 
当且仅当 ,即 ,即 时取得等号
点评:本题还是分母换元使得式子简化,灵活运用均值不等式。


好题速递226题
(重庆高考题)函数 的值域是__________.
解:
设 ,则问题变为求 的值域
解法一:当 时,有
将 视为圆 上任一点与原点连线的斜率,结合图形可知 ,
所以 ,
当 时,
综上可知,
解法二:注意到 ,联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似
于是设直线 的倾斜角为 ,则
所以
好题速递227题
已知 , , , ,则 的取值范围是________.
解法一:考虑向量模的几何意义
由 和 ,可作出图形
 的终点 必在以 为直径的圆 上
又 ,故 的终点 必在以 为圆心,1为半径的圆上
所以问题转化为 与 (半径为1的小圆)有交点
注意到 的半径为 ,圆心距
所以两圆相交需满足
且有
作一个整体换元,设 ,
问题转化为规划问题,已知 ,求 的取值范围。
如图可得
解法二:代数方法
 ,因此只需求 的取值范围
由 得
所以
即 ,解得
所以 ,故
解法三:解析几何坐标方法
解:设 ,设A,B是以O为圆心,2为半径的圆上两点,且ACBC,则 | a-b | = AB = 2 MC.
∵MO2  MA2 = OA2,而MA = MC,∴MO2  MC2 = 4.
设 ,则 ,
即 .(*)
| a-b | = AB = 2 MC =   .
由(*)知, ,
∴ ,即 .
∴ .

好题速递228题
已知实数 ,满足 , ,则 的最大值是________.
解:记 ,则
 
因为

即 的最大值是 

好题速递229题
设函数 , ,若对任意的 ,总存在 ,使得 成立,则实数 的取值范围是________.
解法一:由题意知 的值域是 值域的子集,易得 的值域是
设 ,则 的值域为 的值域,再通过分类讨论进行解答
 或 或 或
解得
解法二:解法一常规,但计算量较大,作为填空题不划算。故从数形结合的角度,利用函数图象给出解法二。
 的值域是 ,设 ,
则问题可以转化为对任意实数 ,关于 的方程 在 上有解,
即对任意实数 ,总存在 ,使得直线 与 在 是有公共点,
即直线 与一簇函数 个个都有公共点,
从图象上显然看到,只要直线 与函数 有公共点即可,于是求得


好题速递230题
在 中, 边上的中线 ,若动点 满足 ,则 的最小值是                  .
解:因为 ,系数之和为1,故 三点共线,且 ,所以点 在线段 上,设 ,

当 时,取最小值

好题速递231题
设数列 满足 ,且 ,则                  .
解:找规律。易知 , , , , ,……,
故数列 是周期为5的数列,所以

好题速递232题
设数列 满足 ,且 ,则                  .
解:

令 ,则 ,即数列 是等比数列,且 ,故 ,即


好题速递233题
已知 ,函数 的零点分别为 ,函数 的零点分别为 ,则 的最小值为           .
解:
 
由(1)(2)得
因为 ,故
好题速递234题
已知函数 ,其中 ,设 为 的一个零点,若 ,则符合条件的 的值有           个.
解:
因为 ,故 ,解得
由 知,
当 时, ;当 时, ;当 时, (舍去);当 时,
综上,符合条件的 或 ,有两个值。


好题速递235题
已知 是 的外心, , , ,若 ,则 的最小值为                   .
解:因为 ,
解得  ,

点评:这里又是三角形外心与向量的常见结合题,“外心点积转边投影”是正道。

好题速递236题
★已知函数 ,设 , ,若函数 有四个零点,则 的取值范围是                   .
解: 是开口形状确定,顶点 在 上运动的抛物线,于是当 取不同值时所对应的函数 图象如图所示,是“W型”的图象
交点横坐标由 解得
函数 有四个零点,可视为直线 与函数 有四个交点,故只需两条抛物线的“交叉点”到直线 的竖直距离大于 即可。
故 ,解得
 

好题速递237题
在 中,若 , ,则 的面积取得最大值时,最长的边长等于                   .
解法一:设 , ,
由题知 , ,
因为
故 ,当且仅当 时,取得最大值,此时
解法二:由余弦定理知

当且仅当 时,等号成立,故最长边为

好题速递238题
如图, 在半径为1的 上,线段 是 的直径,则 的取值范围是                   .
解法一:极化恒等式角度
 
显然当 均为 的直径时, 最大为4;
取 的中点 ,则由极化恒等式知
 故
解法二:投影角度
 
要求 ,显然在 确定的情况下, 最大。
如图,当 且 与圆相切时, 最大。
此时设 ,则 ,
所以
显然当且仅当 与 重合, 与 重合,即 与 反向且模长均为直径时,
解法三:坐标角度
设 ,
所以
 
 
 

则 
 

则  (当且仅当 时取得等号)
解法四:利用竞赛知识
设 , ,

 
在竞赛中证明过一个不等式,在 中,有
 
 
所以
这里用了三角的积化和差、和差化积公式,属于超纲内容。
所以

好题速递239题
★在平面直角坐标系 中,设 是圆 上不同的三个点,若存在实数 ,使得 ,则 的取值范围是                   .
解法一:
(这里的 就是向量夹角,由于三点不同,故 )
当 时有
当 时有
画出可行域如图,
于是将 视为可行域内的 到点 的距离的平方,易得当 时, ,当 时, ,故
解法二:
于是
 解法三:由 可以构造三角形法则
故设 ,则 构成 的三边(否则 三点中至少有两个点重合),如图所示
于是满足 ,画出可行域,后续如解法一。


好题速递240题
★已知二次函数 为非负,则 的最小值为                   .
解法一:齐次化思想
根据条件有 ,则
因此
令 ,则
当且仅当 及 时取得最小值,即 时取得。
解法二:根据条件有 ,则

令 得
当且仅当 及 时取得最小值,即 时取得。
解法三:令 ,得 ,代入

当且仅当 时取得等号
解法四:待定系数法
假设 ,化简为

故比对系数得 ,得 ,即 ,此时
即因为 ,所以
因为 ,所以

好题速递241题
已知 , ,则 的最大值是                   .
解法一:判别式法
令 , 代入 得
关于 的一元二次方程有解得 ,即
所以 ,当且仅当 时取得等号。
解法二:化齐次式
 


当且仅当 时取得等号。
解法三:
令 ,即
设 ,则

解法四:利用余弦定理构造三角形
设 的三边分别为 ,由 得
由正弦定理 ,故

其中 ,故取 ,

评注:本题是很常见的最值问题,解法一、解法二是常规的两种方法,解法三利用三角换元,解法四构造三角形的方法不仅求出了最大值,还取到了最小值。


好题速递242题
(2015全国联赛2)若实数 满足 ,则 的值为                   .
解:由 得 ,
 
评注:这里用了1的逆用,简化了计算,当然也可以把 都算出来,不过计算量比较大。


好题速递243题
(2015全国联赛4)在矩形 中, ,边 上(包含 )的动点 与 的延长线上(包含点 )的动点 满足 ,则 的最小值为                   .
解:不妨设 ,则 ,则由 得 ,

 
评注:坐标法解决向量问题是常见方法。
好题速递244题
(2015全国联赛6)在平面直角坐标系 中,点集 所对应的平面区域的面积为                   .
解:设
先考虑 在第一象限中的部分,此时有 ,故这些点对应于图中的 及其内部,由对称性知, 对应的区域是图中以原点 为中心的菱形 及其内部
同理设 ,则 对应的区域是图中以 为中心的菱形 及其内部。
由点集 的定义知, 所对应的平面区域是被 , 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积
由直线 ,直线 得交点
由对称性知,


好题速递245题
(2015全国联赛7)设 为正实数,若存在 ,使得 ,则 的取值范围是                     .
解:由 知,
而 ,故题目条件等价于:
存在整数 ,使得      ①
当 时,区间 的长度不小于 ,故必存在 满足①式
当 时,注意到 ,故仅需要考虑如下几种情况:
(i) ,此时 且 ,无解
(ii) ,此时
(iii) ,此时 ,得
综上,可知 或
好题速递246题
(2015全国联赛9)若实数 满足 , ,则 的最小值是                  .
解:设 ,则
由条件知 ,


当且仅当 ,即 , 的最小值为
由于 ,故 的最小值为
评注:本题又是“三个字母两个方程,少一个合情合理”的问题。在处理的时候用到了三元均值不等式

好题速递247题
(2015安徽全国联赛3)设平面向量 满足 ,则 的取值范围是                 .
解法一:由于 ,当 时取得等号
又 ,当 时取得等号

解法二:取平面内 , ,则
于是问题转化为在同心圆环( )内的两点 之间的距离在 之间,求 的取值范围。
(评注:又是一个点发出的两个向量做点积,极化恒等式又有用武之地啦!)
 ,其中 是线段 的中点
如图所示,由圆的垂径定理得,
当 位于半径为3的圆周上,且 时 取得最大值为
当 重合时, 取得最小值为0
所以
因此 ,即 ,即


好题速递248题
在平面直角坐标系中,已知点 在圆 内,动直线 过点 且交圆 于 两点,若 面积的最大值为16,则实数 的取值范围是                 .
解:
 ,

故 面积的最大值为16,即 能取得4。
由图象可知, ,故
解不等式 得 或


好题速递249题
如图,已知边长为1的正 的顶点 在平面 内,顶点 在平面 外的同一侧,点 分别为 在平面 内的投影,设 ,直线 与平面 所成的角为 。若 是以角 为直角的直角三角形,则 的取值范围是                 .
解法一:如图建系,设 , ,则
 
因为 且 ,故
又因为 ,故 ,又 ,故
又因为 , ,故
解法二:注意到
考虑 为直线 与 平面 所成的角,显然其上界(无法取得)为 ,此时 ;其最小值当 时取得,为 ,因此所求的范围为

好题速递250题
在 中, 边上的中垂线分别交 于 ,若 , ,则                  .
解:取 作为基底向量,则 ,

由 得 ,即    ①
而 得 ,整理得    ②
将①式代入②式得 ,故 

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