2018届高三数学质量检查测试(4月)试卷(福建理带答案）

2018年福建省高三毕业班质量检查测试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 （   ）
A．          B．        C．       D．
2.将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则（   ）
A． 的图象关于直线 对称             B． 的最小正周期为
C． 的图象关于点 对称               D． 在 单调递增
3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 ， ， ， ， 为顶点的多边形为正五边形，且 .下列关系中正确的是（   ）
 
A．                  B．
C．                 D． 
4.已知  ，则 （   ）
A．123                B．91            C．-120          D．-152
5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数 为（   ）
 
A．120             B．84              C．56            D．28
6.已知函数 .
命题 ： 的图象关于点 对称；命题 ：若 ，则 .则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命题是（   ）
A． ，            B． ，          C． ，        D． ，
7.如图，在平面直角坐标系 中，质点 ， 间隔3分钟先后从点 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 与 的纵坐标之差第4次达到最大值时， 运动的时间为（   ）
 
A．37.5分钟        B．40.5分钟         C．49.5分钟       D．52.5分钟
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（   ）
 
A．          B．          C．        D．
9.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（   ）
A．3200元            B．3400元          C．3500元         D．3600元
10.已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为1的直线交 于 ， 两点，线段 的中点为 ，其垂直平分线交 轴于点 ， 轴于点 .若四边形 的面积等于7，则 的方程为（   ）
A．             B．           C．         D．
11.已知 ， ， ， 四点均在以点 为球心的球面上，且 ， ， .若球 在球 内且与平面 相切，则球 直径的最大值为（   ）
A．1                  B．2                C．4               D．8
12.已知函数  在 上的值域为 ，则 的取值范围是（   ）
A．               B．             C．            D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数 满足 ，则           ．
14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为          ．
15.已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 .以 为圆心， 为半径的圆交 的右支于 ， 两点， 的一个内角为 ，则 的离心率为          ．
16.在平面四边形 中， ， ， ， ，则 的最小值为          ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
18.如图1，在矩形 中， ， ，点 在线段 上，且 ，现将 沿 折到 的位置，连结 ， ，如图2.
 
（1）若点 在线段 上，且 ，证明： ；
（2）记平面 与平面 的交线为 .若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
19.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）
 
根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为 和 ，并得到以下一些统计量的值：
 
 

残差平方和
0.000591 0.000164
总偏差平方和
0.006050
（1）请利用相关指数 判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区 平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：
（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）
（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）
附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）
征收方式见下表：
契税
（买方缴纳） 首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%
增值税
（卖方缴纳） 房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征
个人所得税
（卖方缴纳） 首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征
参考数据： ， ， ， ， ， ， ， .
参考公式：相关指数 .
20.椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ，上、下顶点分别是 ， ， ，直线 交线段 于点 ，且 .
（1）求 的标准方程；
（2）是否存在直线 ，使得 交 于 ， 两点，且 恰是 的垂心？若存在，求 的方程；若不存在，说明理由.
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调区间；
（2）若 ，求证：当 时， .
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）， ， 为过点 的两条直线， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，且 的倾斜角为 ， .
（1）求 和 的极坐标方程；
（2）当 时，求点 到 ， ， ， 四点的距离之和的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 ， .
（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）若当 时， ，求 的取值范围.
 
2018年福建省高三毕业班质量检查测试
理科数学答题分析
一、选择题
1-5: BDADB      6-10: BACCC     11、12：DA
二、填空题
13. -4         14. 6          15.            16. 
三、解答题
17.（1）【考查意图】本小题以 与 的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等.
【解法综述】只要掌握 与 的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解.
思路：由 通过赋值得到：当 时， .从而当 时， ，并注意到 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，进而求得 .
【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由 得到  ，从而无从求解；或没有注意到 ，思维不严密导致解题不完整.
【难度属性】易.
（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前 项和公式、等比数列的前 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.
【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前 项和公式、等比数列的前 项和公式便可顺利求解.
思路：因为 是由等差数列 与等比数列 的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对 的取值进行分类讨论.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对 的取值进行分类讨论导致解题不完整等.
【难度属性】中.
18.（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想.
【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题.
思路：先在图1中连结 ，根据 得到 ，从而有 ， ，即在图2中有 ， ，所以得到 平面 ，进而得到 .
【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段 ，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱.
【难度属性】中.
（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.
【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面 与平面 的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线 与平面 所成角转化为平行于 的直线与平面 所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解.
思路一：延长 ， 交于点 ，连接 ，根据公理3得到直线 即为 ，再根据二面角定义得到 .然后在平面 内过点 作 交 于点 ，并以 为原点，分别为 ， ， 为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得 与平面 所成角的正弦值.
思路二：分别在 ， 上取点 ， ，根据线段的长度及位置关系得到 ，且 ，从而得到四边形 为平行四边形，进而证得 ，将直线 与平面 所成角转化为直线 与平面 所成角.根据二面角定义得到 .然后在平面 内过点 作 交 于点 ，并以 为原点，分别为 ， ， 为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得 与平面 所成角的正弦值.
【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线 的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于 的直线与平面 所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得 ；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误.
【难度属性】中.
19.（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数 为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.
【解法综述】只要理解相关指数 的意义便可通过简单估算解决问题.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数 的意义导致判断错误.
【难度属性】易.
（2）（i）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.
【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的 的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.
思路：由（1）的结论知，模型 的拟合效果更好，通过散点图确定2018年6月对应的 的取值为18，代入 并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的 的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.
【难度属性】中.
（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等.
【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.
思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.
【难度属性】中.
20.（1）【考查意图】本小题以椭圆为载体，考查直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想等.
【解法综述】只要掌握直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质，能将线段的长度关系转化为向量关系，或利用平面几何知识进行转化，从而得到 ， ， 满足的方程，便可求得椭圆的标准方程.
思路一：先分别求出直线 ， 的方程，再求得 的坐标.然后将 转化为 ，得到 ，再结合 ，便可求得 ， ， ，从而得到椭圆的标准方程为 .
思路二：利用椭圆的对称性得到 ，将 转化为 ，得到 ，再结合 ，便可求得 ， ， ，从而得到椭圆的标准方程为 .
【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将 转化为 ，或不能利用椭圆的对称性得到 ，将 转化为 ，导致无从下手.
【难度属性】中.
（2）【考查意图】本小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几种性质、直线与圆锥曲线的位置关系、三角形垂心的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.
【解法综述】只要能通过假设存在满足题意的直线，根据 是 的垂心，得到 ，进而确定直线 的斜率，由此设出直线 的方程并与椭圆方程联立；再根据 是 的垂心，得到 ，将其转化为 或 ，并结合韦达定理，便可得到结论.
思路：先假设存在满足条件的直线 ，由垂心的性质可得 ，从而得到直线 的斜率 ，由此可设 的方程为 ， ， ，再将 的方程与椭圆方程联立得到 及 ， .将 转化为 或 ，即 ，从而求出 的值，并根据 的取值范围检验得到结论.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据 是 的垂心得到 及 ，导致无从下手；在消元、化简的过程中计算出错；未检验导致解题不完整等.
【难度属性】中.
21.（1）【考查意图】本小题以含指数函数的初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.
【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.
思路：求得 ，对 的符号进行讨论.先讨论 的情况，再对 的情况结合 的图象和判别式进一步分成三种情况进行讨论，即可求解.
【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误或两根大小关系判断错误；分类讨论错误或不完整.
【难度属性】中.
（2）【考查意图】本小题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.
【解法综述】只要掌握利用导数研究函数性质的基本思路，具备较强的运算求解能力、推理论证能力和一定的创新意识，并能灵活运用数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，便可解决问题.
思路一：将 的取值分成 ， 两部分进行讨论，对于 的情形可直接根据（1）的结论进行证明：对于 的情形，将所证不等式转化为证明 的最大值 小于零，再利用 得到 ，进而得到 ，通过分析法转化为证明函数 在 恒小于零.
思路二：通过变换主元将 改写成关于 的函数  ，将求证不等式转化为证明  ，再利用分析法进一步转化为证明 ，然后构造  ，证明 的最小值大于零即可.
思路三：同思路一得到 ，通过分析法转化为求证函数 在 恒大于1.
思路四：同思路一得到 ，通过分析法转化为求证函数 在 恒小于零.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不会对参数 的取值进行合理分类；不会通过消元将函数最值转化为仅关于极值点的表达式；不能变换主元对问题进行合理转化；不会根据题意构造恰当的函数.
【难度属性】难.
22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.
【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题.
思路：首先，结合图形易得直线 的极坐标为 .其次，先将 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将 的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.
【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求 的极坐标方程时，忽略 的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.
【难度属性】易.
（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.
【解法综述】只要明确极坐标中 ， 的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题.
思路：根据极坐标的几何意义， ， ， ， 分别是点 ， ， ， 的极径，从而可利用韦达定理得到：
    ，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为 .
【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为 ， ， ， 四点的极径之和；无法由 ， 及 的极坐标方程得到 ，  ；在求 的最值时，三角恒等变形出错.
【难度属性】中.
23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.
【解法综述】根据解集特征判断 的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得 的解集，根据集合相等即可求出 的值.
思路：先将 转化为 ，再根据不等式 的解集为 得出 ，从而得到 的解集为 ，进而由 得 .
【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断 的符号导致无从入手；不等式 的解集求错；不会根据集合相等求出 的值.
【难度属性】易.
（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.
【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出 的取值范围.
思路一：当 时，易得 对任意实数 成立；当 时，将 转化为 ，再通过分段讨论确定函数 的最小值，从而得到 的取值范围.
思路二：当 时，易得 对任意实数 成立；当 时，将 转化为 ，再利用绝对值三角不等式得到 的最小值，从而得到 的取值范围.
思路三：当 时， ， ，得到 成立；当 时，不等式 等价于函数 的图象恒不在函数 的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到 的取值范围.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数 的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解.
【难度属性】中.