2018荆州市高三数学（文）质量检查试题（III）（有答案）

荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）
数学（文史类）
第Ⅰ卷  选择题（60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设全集 ，集合 ， ，则 （   ）
A．          B．        C．        D．
2.若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 （   ）
A．                B．            C．           D．
3.下列命题正确的是（   ）
A．命题“ ”为假命题，则命题 与命题 都是假命题；
B．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；
C．“ ”是“ ”成立的必要不充分条件；
D．命题“存在 ，使得 ”的否定是：“对任意 ，均有 ”.
4.已知数列 满足 ，且 ，则 （   ）
A．-3                 B．3               C．           D．
5.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（   ）
 
A．             B．            C．           D．
6.把函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 （   ）
A．图象关于直线 对称               B．在 上单调递减
C．图象关于点 对称               D．在 上单调递增
7.实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（   ）
A．0                 B．-2               C．2          D．4
8.函数 的图象大致是（   ）
   
         A．              B．                    C．                 D．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（   ）
 
A．14                    B．15             C．16            D．17
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（   ）
 
A．           B．        C．        D．12
11.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为（   ）
A．             B．                 C．               D．
12.若函数 有且只有两个零点，则实数 的取值范围为（   ）
A．                            B．
C．                                D．
第Ⅱ卷  非选择题（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.
13.平面向量 ， ，若向量 与 共线，则           ．
14.某医院随机抽取20位急症病人家属了解病人等待急症的时间，记录如下表：
等待急症时间（分钟）

频数 4 8 5 2 1
根据以上记录，病人等待急症平均时间的估计值           分钟．
15.已知底面是直角三角形的直三棱柱 的所有顶点都在球 的球面上，且 ，若球 的表面积为 ，则这个直三棱柱的体积是          ．
16.高斯函数 又称为取整函数，符号 表示不超过 的最大整数.设 是关于 的方程 的实数根， ， .则：（1）           ；（2）           .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 的值.
18.在四棱锥 中， ， ， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，平面 平面 .
 
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积.
19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：
月份 1 2 3 4 5 6
不“礼让斑马线”驾驶员人数 120 105 100 85 90 80
（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数 与月份 之间的回归直线方程 ；
（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？
（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：  ， .
20.已知倾斜角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）过点 的两条直线 、 分别交抛物线 于点 、 和 、 ，线段 和 的中点分别为 、 .如果直线 与 的斜率之积等于1，求证：直线 经过一定点.
21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当 ， 时，证明： ；
（Ⅱ）当 时，讨论函数 的极值点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知圆 的圆心为 ，半径为 .以极点为原点，极轴方向为 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数， 且 ）.
（Ⅰ）写出圆 的极坐标方程和直线 的普通方程；
（Ⅱ）若直线 与圆 交于 、 两点，求 的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设不等式 的解集为 .
（Ⅰ）求集合 ；
（Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: CBBAA      6-10: DDACC     11、12：DA
二、填空题
13.           14. 7.6          15.            16.（1）2；（2）
三、解答题
17.解：（Ⅰ）方法一：由余弦定理可得 ，
整理得： ，即 ，
又 为三角形的内角，∴ .
方法二：由正弦定理可得： ，
 ，
 ，
 ，又 为三角形的内角， .
（Ⅱ）由题意：  ，
在三角形中：  ，
即 ，
联立①②解得 .
18.（Ⅰ）证明：取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， .
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ .
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，而 ，
∴ ①
又∵ ， ， ，
∴四边形 为正方形，且 ，
∴ ，即 ②
由①②及 得： 面 ，
又∵ 面 ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ 面 ，而 面 ，
∴ .
 
（Ⅱ）过 点作 于 ，则 面 且 ，
 （或由（Ⅰ）得 面 ， ）
19.解：（Ⅰ）依题意 ， ，
 ， ，
∴ 关于 的线性回归方程为： .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，当 时， .
 ，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.
（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为： ， ， ， ，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为 ， ，从这6人中任抽两人包含以下基本事件： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，
∴所求概率 .
20.解：（Ⅰ）由题意可设直线 的方程为 ，令 ， .
联立 得 ，∴ ，
根据抛物线的定义得，又 ，又 ，∴ ，∴ .
则此抛物线的方程为 .
（Ⅱ）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .
于是直线 的方程为 ，即 ，
联立 得 ，∴ ，
则 ，∴ ，
同理将 换成 得： ，
∴  .
则直线 的方程为 ，
即 ，显然当 ， .
所以直线 经过定点 .
21.解：（Ⅰ）依题意 ，因为 ，只要证 ，
记 ， ，则 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 ，即 ，原不等式成立.
（Ⅱ）  
 ，
记 ， .
（1）当 时， ， 在 上单调递增， ， ，
所以存在唯一 ， ，且当 时， ；当 ， ，
①若 ，即 时，对任意 ， ，此时 在 上单调递增，无极值点.
②若 ，即 时，此时当 或 时， .即 在 ， 上单调递增；当 时， ，即 在 上单调递减.
此时 有一个极大值点 和一个极小值点-1.
③若 ，即 时，此时当 或 时， .即 在 ， 上单调递增；当 时， ，即 在 上单调递减.
此时 有一个极大值点-1和一个极小值点 .
（2）当 时， ，所以 ，显然 在 单调递减；在 上单调递增.
综上可得：①当 或 时， 有两个极值点；
②当 时， 无极值点；
③当 时， 有一个极值点.
22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令 ， ，
在 中， 为直径， ，
∵ 消去参数 得直线 的普通方程为： .
法二：在直角坐标系中，圆 的圆心为 ，则方程为 .
即 ，∴ ，
即 .
（Ⅱ）法一：直线过圆 内一定点 ，当 时， 有最小值，
∴ .
法二：点 到直线 的距离 ，
∴  .
当 时， 有最小值 .
23.解：（Ⅰ）由已知，令 ，
由 得 .
（Ⅱ）将不等式 整理成 ，
令 ，要使 ，
则 ，