2018年济南市高新区中考数学一模试卷(含答案和解释)

2018年山东省济南市高新区中考数学一模试卷
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C．  D．
2．（4分）随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量将达到2150万人，数字2150用科学 记数法表示为（　　）
A．0.215×104 B．2.15×103 C．2.15×104 D．21.5×102
3．（4分）下列图形中，中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3=a3 B．（a2）3=a8 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2+a2=a4
5．（4分）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（　　）
 
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．（4分）化简 ÷ 的结果是（　　）
A．  B．  C．  D．2（x+1）
7．（4分）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元 ，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　）
A．  B．
C．  D．
8．（4分）如图，直径为10的⊙A上经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
9．（4分）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）
 
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
10．（4分）一次函数y=ax+b与反比例函数y= ，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A．  B．  C．  D．
11．（4分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论中不正确的是（　　）
 
A．  B．S△BCE=36 C．S△ABE=12 D．△AFE∽△ACD
12．（4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，（1）abc＞0；（2）4a+2b+c＞0；（3）4ac﹣b2＜16a；（4） ＜a＜ ；（5）b＜c，其中正确的结论有（　　）
 
A．（2）（3）（4）（5） B．（1）（3）（4）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（5）
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）因式分解：xy2﹣4x=　   　．
14．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是　   　．
15．（4分）在一个不透明的袋子中，装有大小，形状，质地都相同，但颜色不同的红球3个，黄球2个，白球若干个，从袋子中随机摸出一个小球是黄球的概率是 ，则袋子中白色小球有　   　个；
16．（4分）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD=2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是　   　．
 
17．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC= ，反比例函数y=﹣ 的图象经过点C，与AB交与点D，则△COD的面积的值等于　   　；
 
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 与x轴交于点B1，以OB1为边 长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2018的横坐标是　   　．
 
　
三、解答题（本题共78分，第19～21题，每小题5分，第22～23题，每小题5分，第24～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．）
19．（5分）计算： ﹣|﹣2|+（ ）﹣1﹣2cos45°
20．（6分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
 
22．（8分）济南在创建全国文明城市的进程中，高新区为美化城市环境，计划种植树木30000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%．结果提前10天完成任务，求原计划每天植树多少棵．
23．（10分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．
 
请根据以上信息，回答下列问题：
（l）杨老师采用的调查方式是　   　（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数　   　．
（3）请估计全校共征集作品的什数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好 选取的两名学生性别相同的概率．
24．（9分）某款篮球架的示意图如图所示，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2米，篮板顶端F点到篮框点D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.1米）．（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，tan75°≈3.73， ≈1.73， ≈1.41）
 
25．（10分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．
 
26．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系：　   　，位置关系：　   　．
（2）如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
②当G为CF中点，连接GE，若AB= ，求线段GE的长．
 
27． （12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0， ）．
（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+ NB）的最小值．
 
　
 

2018年山东省济南市高新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C．  D．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：B．
　
2．（4分）随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量将达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（　　）
A．0.215×104 B．2.15×103 C．2.15×104 D．21.5×102
【解答】解：2150=2.15×103，
故选：B．
　
3．（4分）下列图形中，中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
　
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3=a3 B．（a2）3=a8 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2+a2=a4
【解答】解：A、a6÷a3=a3，故A选项正确；
B、（a2）3=a6，故B选项错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C选项错误；
D、a2+a2=2a2，故D选项错误．
故选：A．
　
5．（4分）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠C EF=140°，则∠A等于（　　）
 
A．35° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵∠CEF=140°，
∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°，
∵直线AB∥CD，
∴∠A=∠FED=40°．
故选：B．
　
6．（4分）化简 ÷ 的结果是（　　）
A．  B．  C．  D．2（x+1）
【解答】解：原式= •（x﹣1）= ，
故选：A．
　
7．（4分）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230 元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　）
A．  B．
C．  D．
【解答】解：设每个排球x元，每个实心球y元，
则根据题意列二元一次方程组得： ，
故选：B．
　
8．（4分）如图，直径为10的⊙A上经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：如图，延长CA交⊙A与点D，连接OD， ，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠OBC=∠ODC，
∵CD是⊙A的直径，
∴∠COD=90°，
∴cos∠ODC= = = ，
∴cos∠OBC= ，
即∠OBC的余弦值为 ．
故选：C．
　
9．（4分）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）
 
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，
则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（﹣4，5），
∴A′（4，5），B（﹣4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b ，
∴ ，
∴ ，
∴直线DA′的解析式为y= x+ ，
当x=0时，y= ，
∴E（0， ），
故选：B．
 
　
10．（4分）一次函数y=ax+b与反比例函数y= ，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y= 的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选：C．
　
11．（4分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论中不正确的是（　　）
 
A．  B．S△BCE=36 C．S△ABE=1 2 D．△AFE∽△ACD
【解答】解：∵在▱ABCD中，AO= AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE= CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ = = ，
∵AD=BC，
∴AF= AD，
∴ = ；故选项A正确，不合题意；
∵S△AEF=4，  =（ ）2= ，
∴S△BCE=36；故选项B正确，不合题意；
∵ = = ，
∴ = ，
∴S△ABE=12，故选项C正确，不合题意；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
 
　
12．（4分） 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，（1）abc＞0；（2）4a+2b+c＞0；（3）4ac﹣b2＜16a；（4） ＜a＜ ；（5）b＜c，其中正确的结论有（　　）
 
A．（2）（3）（4）（5） B．（1）（3）（4）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（5）
【解答 】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴﹣ =1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵16a＞0
∴4ac﹣b2＜16a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴ ＜a＜ ；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤错误；
故选：C．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）因式分解：xy2﹣4x=　x（y+2）（y﹣2）　．
【解答】解：xy2﹣4x，
=x（y2﹣4），
=x（y+2）（y﹣2）．
　
14．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是　0　．
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，
把x=0代入方程，得k2﹣k=0，
解得，k1=1，k2=0
当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
　
15．（4分）在一个不透明的袋子中，装有大小，形状，质地都相同，但颜色不同的红球3个，黄球2个，白球若干个，从袋子中随机摸出一个小球是黄球的概率是 ，则袋子中白色小球有　3　个；
【解答】解：设白球x个，由题意可得，
 = ，
解得：x=3．
故答案为：3．
　
16．（4分）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD=2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是　 ﹣ 　．
 
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∴AB=AE=1，BE= ，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
=1×2﹣ ×1×1﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
　
17．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC= ，反比例函数y=﹣ 的图象经过点C，与AB交与点D，则△COD的面积的值等于　10　；
 
【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，
 
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO=S△DEO，
同理S△BCD=S△CDE，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO，
∵tan∠AOC= ，
∴OF=3x，
∴OC=5x，
∴OA=OC=5x，
∵S菱形ABCO=AO•CF=20x2，
∵C（﹣3x，4x），
∴ ×3x×4x=6，
∴x2=1，
∴S菱形ABCO=20，
∴△COD的面积=10，
故答案为10．
　
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2018的横坐标是　 　．
 
【解答】解：由直线l：y= x﹣ 与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0，﹣ ），
∴OB1=1，∠OB1D=30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= = ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= = ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= = ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A2018的横坐标是 ，
故答案为： ．
 
　
三、解答题（本题共78分，第19～21题，每小题5分，第22～23题，每小题5分，第24～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．）
19．（5分）计算： ﹣|﹣2|+（ ）﹣1﹣2cos45°
【解答】解：原式=2 ﹣2+3﹣2×
=2 +1﹣
= +1．
　
20．（6分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解： ，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≥ ，
故此不等式组的解集为：x≥ ．
在数轴上表示为： ．
　
21．（6分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
 
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
 ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
　
22．（8分）济南在创建全国文明城市的进程中，高新区为美化城市环境，计划种植树木30000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%．结果提前10天完成任务，求原计划每天植树多少棵．
【解答】解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），
由题意得， ﹣ =10，
解得：x=500，
经检验，x=500是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树500棵．
　
23．（10分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．
 
请根据以上信息，回答下列问题：
（l）杨老师采用的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数　150°　．
（3）请估计全校共征集作品的什数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖， 其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．
【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．

（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ =24件，
C班有24﹣（4+6+4）=10件，
补全条形图如图所示，
 
扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°× =150°；
故答案为：150°；

（3）∵平均每个班 =6件，
∴估计全校共征集作品6×30=180件．

（4）画树状图得：
 
∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，
∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为 = ．
　
24．（9分）某款篮球架的示意图如图所示，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2米，篮板顶端F点到篮框点D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.1米）．（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，tan75°≈3.73， ≈1.73， ≈1.41）
 
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB= ，
则AB=BC•tan75°=0.6×3.73=2.24（m），
故GM=AB=2.24m，
在Rt△AGF中，
∵∠FAG=∠FHD=60°，
sin∠FAG= ，
∴sin60°= = ，
∴FG≈1.72m，
∴DM=FG+GM﹣DF≈2.6（m），
答：篮框D到地面的距离是2.6m．
 
　
25．（10分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．
 
【解答】解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y= ，可得k=4，
即反比例函数解析式为：y= ，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标= =1，
故点F的坐标为（4，1）；

（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（ ，2），点F坐标为（4， ），
则C F= ，BF=DF=2﹣ ，ED=BE=AB﹣AE=4﹣ ，
在Rt△CDF中，CD= = = ，
∵ = ，即 = ，
∴ =1，
解得：k=3．
　
26．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系：　BC=CG　，位置关系：　BC⊥CG　．
（2）如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
②当G为CF中点，连接GE，若AB= ，求线段GE的长．
 
【解答】解：（1）BC=CG，BC⊥CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
 ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BC⊥CG，
同理△ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即BC=CG，
故答案为：BC=CG，BC⊥CG；

（2）①仍然成立
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
 ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BC⊥CG，
同理△ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即BC=CG，
②与①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，
∵AB= ，G为CF中点，
∴BC=CG=FG=CD=2，
如图（2），过点A作AM⊥BD于M，
∴AM=1，MD=3，
∴AD= ，
过点 E作EN⊥FG于N，
在△AMD与△FNE中， ，
∴△AMD≌△FNE，
∴FN=AM=1，
∴FG=2FN，
∴NE为FG的垂直平分线，
即GE=FE=AD= ．
 
　
27．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0， ）．
（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+ NB）的最小值．
 
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+6x）（x﹣1），（a≠0）．
将B（0， ）代入，得 =a（x+6）（x﹣1），
解得a=﹣ ，
∴该抛物线解析式为y=﹣ （x+6）（x﹣1）或y=﹣ x2﹣ x+ ．
设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0）．
将点A（﹣6，0），B（0， ）代入，得
 ，
解得 ，
则直线AB的解析式为：y= x+ ；

（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m，  m+ ），当DE为底时，
如图1，作BG⊥DE于G，则EG=GD= ED，GM=OB= ，
∵DM+DG=GM=OB，
∴ m+ + （﹣ m2﹣ m+ ﹣ m﹣ ）= ，
解得：m1=﹣4，m2=0（不合题意，舍去），
∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；

（3）i：存在，如图．
∵ON=OM′=4，OB= ，
∵∠NOP=∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，  = = = ，
∴ 不变，
即OP= ON= ×4=3，
∴P（0，3）；

ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，  = = ，
∴NP= NB，
∴（NA+ NB）的最小值=NA+NP，
∴此时N，A，P三点共线，
∴（NA+ NB）的最小值= =3 ．