2017年南昌市三校高二数学下期末联考试题(文含答案和解释)

南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高二试卷
数 学（文科）
第Ⅰ卷（选择题    共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 设i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数a为（    ）
A.      B. -2    C.      D. 2
【答案】D
【解析】 为纯虚数,则 .
故选D.
2. 设集合 （　　）
A. {1，2，3}    B. {4，5}    C. {1，2，3，4，5}    D. 
【答案】B
【解析】 .
故选B.
3. 已知 则 是（    ）
A.      B. 
C.      D. 
【答案】C
【解析】 为全称命题，否定为特称，故有 .
故选C.
4. “|x|<2”是“x2－x－6<0”的(　　)
A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件
C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选A.|x|<2⇒-2<x<2,x2-x-6<0⇒-2<x<3,{x|-2<x<2}⊆{x|-2<x<3}.
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（     ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】A.为奇函数， 是增函数；满足...
B.为奇函数，在 和 为增函数，不在定义域单增，不正确.
C.为奇函数，但不是增函数；
D.函数是减函数.
故选A.
6. 某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（    ）
A.      B. 
C.      D. 
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体为一平行六面体，侧面是边长分别为3、4的矩形，高即为底面边长3，所以 。
故本题正确答案为C。
 
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
7. 函数 的零点所在的一个区间是（     ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】 为增函数，
 .
所以函数 的零点所在的一个区间是 .故选C.

8. 已知 在x=0处取得最小值，则 的最大值是（   ）
A. 4    B. 1    C. 3    D. 2
【答案】D
【解析】∵ ，
当x⩽0时，
f(x)的最小值为a2，
当x>0时，
f(x)的最小值为2+a，...
∵在x=0处取得最小值，
∴a2<a+2，
∴−1⩽a⩽2， 的最大值是2
故选D.
9. 已知函数 ，若对于任意实数x， 与 至少
有一个为正数，则实数m的取值范围是（    ）
A. （0,2）     B. （0,8）    C. （2,8）    D. （ ，0）
【答案】B
【解析】试题分析：当 时，若x接近 时，函数 与 均为负值，显然不成立，当 时，因 当 时，若 即 时，结论显然成立．若 时只要 即 ，综上所述，
考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像．
【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当 时，显然不成立；当 时，因为 所以仅对对称轴进行分类讨论即可。
10. 函数 与 的图象所有交点的横坐标之和为（    ）
A. 0    B. 2    C. 4    D. 6
【答案】C
【解析】
设P(x0,y0)是函数g(x)=|log2|x−1||的图象上任一点，
则当x=2−x0时,y=|log2|(2−x0)−1||=|log2|x0−1||=y0
∴点Q(2−x0,y0)也在函数g(x)=|log2|x−1||的图象上。
由于点P、Q关于直线x=1对称，
∴函数g(x)=|log2|x−1||的图象关于直线x=1对称。
当x=1时,函数f(x)=cos(πx)=cosπ=−1
∴函数f(x)=cos(πx)的图象关于直线x=1对称。
∴函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象的交点关于直线x=1对称
当1<x<2时,函数f(x)=cos(πx)单调递增,f(1)=−1,f(2)=1；
而函数g(x)=|log2|x−1||=−log2(x−1)单调递减,g(2)=0，
故在区间(1,2)内,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象有且只一个交点；
当2⩽x⩽3时,函数f(x)=cos(πx)单调递减,f(2)=1,f(3)=−1，
而函数g(x)=|log2|x−1||=log2(x−1)单调递增,g(2)=0，
故在区间(2,3)内,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象有且只一个交点；
当x>3时,g(x)=|log2|x−1||=log2(x−1)>1,而函数f(x)=cos(πx)⩽1，...
故在区间(3,+∞)内,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象无交点。
综上所述,函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象共有4个交点，关于直线x=1对称，
∴函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log2|x−1||的图象所有交点的横坐标之和为4.
故选C.
11. 设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件：存在 ,使 在 上的值域是 则称 为“倍缩函数”，若函数 为“倍缩函数”，则t的范围是(     )
A.      B.                             D.
【答案】A
【解析】∵函数f(x)=f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”，
且满足存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[ ]，
∴f(x)在[a,b]上是增函数；
∴ ，
即 ，
∴a,b是方程2x− +t=0的两个根，
设m= ,则m>0,此时方程为m2−m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴ ，
解得：0<t< ，
∴满足条件t的范围是(0, )，
故选：A.
 
12. 已知函数 ，若存在实数 满足
其中 ，则 的取值范围是（   ）
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得： ,因此 ，记 ,则 是方程 的两根，
 ，故选B．
 
考点：1、分段函数的解析式及对数函数的性质；2、韦达定理、不等式的性质及数形结合思想．
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及对数函数的性质、韦达定理及不等式的性质、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点．本题通过函数的图象，可以清晰的看出 之间的关系，进而求出 的取值范围．
第Ⅱ卷（非选择题   共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写答题卡中的横线上...
13. 若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是_________．
【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】解：因为 x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则说明不等式有解，那么判别式大于零可知实数a的范围是(-∞,-1)∪(3,+∞)
14. 设函数f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上， ，其中 ，若 ，则 =________.
【答案】-10
【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f ＝f ，且f(－1)＝f(1)，故f ＝f ，从而 ＝－ a＋1，即3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝ ，
即b＝－2a. ②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
15. 棱长为1的正方体 的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱 、 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为_________
【答案】
【解析】略
16. 函数 的定义域为D，若对于任意 ，当 时，都有 ，则称函数 在D上为非减函数；设函数 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；② ；③f(1-x)=1-f(x)，则 =_________
【答案】
【解析】∵f(0)=0,f(1−x)=1−f(x)，
令x=1,则f(0)=1−f(1),解得f(1)=1，
令x= ,则f( )=1−f( ),解得：f( )= .
又∵f( )= f(x)，
∴f( )= f(1)= ,f( )= f( )=14,f( )= f( )=14，
又由f(x)在[0,1]上为非减函数，
故f( )= ，
∴f( )+f( )= .
故答案为： .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知a>0，设命题p：函数y＝ 在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．
【答案】(0,1]∪[4，＋∞)．
【解析】试题分析：先解命题，再研究命题的关系，函数y=ax在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax2-ax+1＞0对∀x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．
试题解析：
∵函数y＝ 在R上单调递增，∴p：a>1.
不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，且a>0，∴a2－4a<0，解得0<a<4，∴q：0<a<4....
∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．
①当p真，q假时， ，得a≥4.
②当p假，q真时， ，得0<a≤1.
故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
18. 函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.
【答案】（1）见解析；（2）a∈(－3,2).
【解析】试题分析：（1）定义法：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1），由已知可判断其符号；
（2）令m=n=1可求得f（2），进而可得f（1）=2，利用单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式．
试题解析：
(1)设x1＜x2，∴x2－x1＞0.  ∵当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.
f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)．
∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，即a∈(－3,2)．
点睛：本题主要考查函数的性质，但是函数是抽象函数，需要采用赋值的手段进行研究，研究的方向即为利用单调性的定义证明，再由函数的单调性解自变量的不等式即可.
19. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2 ．
 
（1）求证：OM∥平面ABD
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．
（2）根据题中数据，算出DO= BD=2，OM= AB=2，从而得到OD2+OM2=8=DM2，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．
试题解析：
（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO= BD=2．...
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM= AB=2．
因此， ，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．
∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20. 为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：
 
（I）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？
（II）在（I）中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；
（III）你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？ 
下面的临界值表供参考：
 
独立性检验统计量K2＝ ，其中n=a+b+c+d．
【答案】（1）男生4人，女生2人；（2） ；（3）见解析.
【解析】试题分析：（I）根据分层抽样的定义，写出比例式，得到男生抽取人数即可．
（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是利用排列组合写出所有事件的事件数，及满足条件的事件数，得到概率．
（III）计算K2，同临界值表进行比较，得到有多大把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．
试题解析：
（I）由题意，男生抽取6× 人，女生抽取6× =2人；
（II）在（I）中抽取的6人中任选2人，恰有一名女生的概率P=
（III）K2= ，由于8.333＞6.635，所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．
21. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
 
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）证明BG⊥AD，通过平面与平面垂直的性质，即可证明BG⊥平面PAD．
（2）连接PG，证明PG⊥AD，通过BG⊥AD，证明AD⊥平面PGB，然后证明AD⊥PB．
（3）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
通过证明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可证明平面DEF⊥平面ABCD．
试题解析：...
(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.∴BG⊥平面PAD.
(2)证明：连接PG，由△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD，
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG 平面PGB，BG 平面PGB，∴AD⊥平面PGB.
∵PB 平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE，EF，DF，
在△PBC中，FE∥PB，∴EF∥平面PBG.
在菱形ABCD中，GB∥DE，∴DE∥平面PBG，
FE 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，
由(1)得：PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
（4）证明面面垂直，需转化为线面垂直.
请考生在第（a）、（b）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，把答案填在答题卡上．
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知倾斜角为 的直线l经过点P（1，1）．
    （I）写出直线l的参数方程；
    （Ⅱ）设直线l与 的值。
【答案】（1） ；（2）2.
 
试题解析：解：（Ⅰ）直线 的参数方程为 ，即 4分
（Ⅱ）将 代入 ，化简整理得： 6分
所以， 7分
因为直线 经过圆心，所以， 8分
所以， = 10分.
考点：1.直线和圆的方程；2.参数方程和一般方程的转化....
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）求 的最大值；
    （Ⅱ）若关于x的不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）4；（2） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意有： ，令 ，由基本不等式，即可求出 的最大值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 的最大值为4，又因为关于 的不等式 有解，所以， ，解绝对值不等式，即可求出结果.
试题解析：解：（Ⅰ）依题意有： ，令 ，
则 ，所以， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最大值为4. 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 的最大值为4，又因为关于 的不等式 有解，
所以， ，解得， ，即 . 10分
考点：1.基本不等式的应用；2.恒成立问题；3.绝对值不等式的解法.