北京市西城区2014-2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷
试卷满分:150分 考试时间:120分钟
A卷 [必修 模块3] 本卷满分:50分
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分。共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率依次为P1,P2,P3,则( )
A. P1=P2<P3 B. P2=P3<P1 C. P1=P3<P2 D. P1=P2=P3
2. 从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数,所取两个数之和为5的概率是( )
A. B. C. D.
3. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. 2 B. C. D.
4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计,全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间,将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图。现从全体学生中,采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析,则从成绩在[90,100]内的学生中抽取的人数为( )
A. 24 B. 18 C. 15 D. 12
5. 投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是 ={1,2,3,4,5,6}。设事件A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是( )
A. A,C为对立事件
B. A,B为对立事件
C. A,C为互斥事件,但不是对立事件
D. A,B为互斥事件,但不是对立事件
6. 下图是1,2两组各7名同学体重(单位:千克)数据的茎叶图。设1,2两组数据的平均数依次为 和 ,标准差依次为s1和s2,那么( )
(注:标准差s= ,其中 为x1,x2,…,xn的平均数)
A. < ,s1<s2 B. < ,s1>s2
C. > ,s1>s2 D. > ,s1<s2
7. 下图给出的是计算 的一个程序框图,则判断框内应填入关于i的不等式为( )
A. i<50
B. i>50
C. i<51
D. i>51
8. 袋中装有5个小球,颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色,现从袋中随机抽取3个小球。设每个小球被抽到的机会均等,则抽到白球或黑球的概率为( )
A. B. C. D.
二、解答题:本大题共2小题,共18分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
9. (本小题满分9分)
从某校高一年级随机抽取n名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表:
组号 分组 频数 频率
1 [5,6) 2 0.04
2 [6,7) 0.20
3 [7,8) a
4 [8,9) b
5 [9,10) 0.16
(I)求n的值;
(Ⅱ)若a=10,补全表中数据,并绘制频率分布直方图;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替。若上述数据的平均值为7.84,求a,b的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率。
10. (本小题满分9分)
已知关于x的一元二次方程x2-2ax+b2=0,其中a,b R。
(I)若a随机选自集合{0,1,2,3,4},b随机选自集合{0,1,2,3},求方程有实根的概率;
(Ⅱ)若a随机选自区间[0,4],b随机选自区间[0,3],求方程有实根的概率。
B卷[学期综合] 本卷满分:100分
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1. 数列{an)满足a1=1,an+1=an-3(n N*),则a4=( )
A. 10 B. 8 C. -8 D. -10
2. 设a,b R,且a>b,则下列结论中正确的是( )
A. >l B. < C. > D. a3>b3
3. 在等比数列{an}中,a1=2,a4= 。若am=2-15,则m=( )
A. 17 B. 16 C. 14 D. 13
4. 若实数x,y满足 则z=x+3y的最大值是( )
A. 6 B. 4 C. D. 0
5. 在△ABC中,若asinA=bsinB,则△ABC的形状一定是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn。若S2k+1>0,则一定有( )
A. ak>0 B. Sk>0 C. ak+l>0 D. Sk+l>0
7. 已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=2n-c,其中c为常数,n∈N*。若a4=3,则c=( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 设不等式组 表示的平面区域是W,则W中的整点(横、纵坐标均为整数的点)个数是( )
A. 231 B. 230 C. 219 D. 218
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中横线上。
9. 不等式x2<2x的解集为_____________。
10. 在△ABC中,若a=1,b=2,cosC= ,则c=_____________。
11. 已知等差数列{an}的各项均为正整数,且a8=2015,则a1的最小值是_________。
12. 函数f(x)=x+ (x>1)的最小值是_____________;此时x=_____________。
13. 设a∈R,n∈N*,求和:l+a+a2+a3+…+an=_____________。
14. 设数列{an}的通项公式为an=3n(n∈N*)。数列{bn}定义如下:对任意m∈N*,bm是数列{an}中不大于32m的项的个数,则b3=_____________;数列{bm}的前m项和Sm=_____________。
三、解答题:本大题共4小题,共44分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分10分)
已知数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列。
(I)证明:当0<q<1时,{an}是递减数列;
(II)若对任意k∈N*,都有ak,ak+2,ak+1成等差数列,求q的值。
16. (本小题满分10分)
已知△ABC为锐角三角形,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且 a=2csinA。
(I)求角C;
(II)当c=2 时,求:△ABC面积的最大值。
17. (本小题满分12分)
设m R,不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0的解集记为集合P。
(I)若P=( -1<x<2),求m的值;
(Ⅱ)当m>0时,求集合P;
(III)若{ -3<x<2} P,求m的取值范围。
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的通项公式为an=2n+(-1)n+1•(1+ n),其中是常数,n∈N*。
(I)当an=-1时,求 的值;
(Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列?证明你的结论;
(Ⅲ)若对于任意n∈N*,都有an>0,求 的取值范围。
参考答案
A卷 [必修 模块3] 本卷满分:50分
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分。
1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6. A 7. B 8. D
二、解答题:本大题共2小题,共18分。
9. (本小题满分9分)
(I)解:n= 1分
(II)解:补全数据见下表(3分);
组号 分组 频数 频率
1 [5,6) 2 0.04
2 [6,7) 10 0.20
3 [7,8) 10 0.20
4 [8,9) 20 0.40
5 [9,10) 8 0.16
频率分布直方图见下图: 5分
(III)解:依题意,得 7分
解得 8分
设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A,
则P(A)= 。 9分
10. (本小题满分9分)
(I)解:设“关于x的一元二次方程x2-2ax+b2=0有实根”为事件A,由 ,得 。
因为a≥0,b≥0,
所以a≥b时事件A发生。
(I)的基本事件共20个:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3)
3分
事件A包含14个基本事件, 4分
所以P(A)= 。 5分
(II)解:因为 ,
则试验的全部结果构成区域 ={(a,b) ≤a≤4,0≤a≤4,0≤b≤3}, 的面积为 6分
事件A所构成的区域A={(a,b) ≤a≤4,0≤b≤3,a≥b},A的面积为 。 8分
所以P(A)= 。 9分
B卷 [学期综合] 满分100分
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分。
1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。
9. { 0<x<2}; 10. 2 11. 6 12. 3,2 13.
14. 243, 。
注:12、14题,每空2分;13题少解给2分,有错解不得分。
三、解答题:本大题共4小题,共44分。
15. (本小题满分10分)
(I)证明:因为数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列,
所以an=qn-1, 。 1分
所以an+1-an=qn-qn-1=qn-1(q-1) 3分
当0<q<1时,有qn-1>0,q-1<0,
所以an+1-an<0, 。 5分
所以{an}是递减数列。
(II)解:因为ak,ak+2,ak+1成等差数列,
所以2ak+2-(ak+ak+1)=0, 其中 。 6分
即2qk+1-(qk-1+qk)=0,
整理得 。 7分
因为q≠0,
所以2q2-q-1=0, 8分
解得q=1,或q= 。 10分
16. (本小题满分10分)
(I)解:由正弦定理得 , 1分
将已知代入得sinC= 。 2分
因为△ABC为锐角三角形,所以0<C< , 3分
所以C= 。 4分
(II)证明:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC, 5分
即12=a2+b2-ab, 6分
又a2+b2-ab≥2ab-ab=ab
所以ab≤12。 8分
所以△ABC的面积S= absinC= ab≤3 , 9分
当且仅当a=b,即△ABC为等边三角形时,△ABC的面积取到3 。
所以△ABC面积的最大值为3 。 10分
17. (本小题满分12分)
(I)解:因为P={ -1<x<2},
所以方程mx2-(3m+1)x+2(m+1)=0的两根为-1和2。 1分
将x=-1代入上述方程,得m(-1)2-(3m+1)(-1)+2(m+1)=0, 2分
解得m= 。 3分
(II)解:不等式mx2-(3x+1)x+2(2m+1)>0可化为(x-2)[mx-(m+1)]>0。 4分
当m>0时,方程m(-1)2-(3m+1)(-1)+2(m+1)=0的两根为 和2
①当 =2,即m=1时,解得x≠2。 5分
②当 >2,即0<m<1时,解得x<2或x> 。 6分
③当 <2,即m>1时,解得x< 或x>2。 7分
综上,当0<m<1时,P={ x<2或x> };当m=1时,P={ x ,且x≠2};当m>1时,P={ x< 或x>2}。
(III)解:依题意,当x 时,不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0恒成立。
当m=0时,原不等式化为-x+2>0,即P={ x<2},适合题意。 8分
当m>0时,由(II)可得0<m≤1时,适合题意。 9分
当m>0时,因为 =1+ ,所以P={ <x<2}。 10分
此时必有 ≤-3成立,解得 。 11分
综上,若{ -3<x<2} ,则m的取值范围是[ ]。 12分
18. (本小题满分12分)
(I)解:因为an=2n+(-1)n+1 ,
所以n=2时,a2=3-2 。 1分
由3-2 =-1,
解得 =2。 2分
(II)解:数列{an}不可能为等差数列,证明如下:
由an=2n+(-1)n+1 ,得
a1=3+ ,a2=3-2 ,a3=7+3 ,a4=7-4 。 4分
若存在 ,使{an}为等差数列,则2a2=a1+a3, 5分
即2(3-2 )=(3+ )+(7+3 ),
解得 = 。 6分
于是,a2-a1=-3 = ,a4-a3=-7 = ,这与{an}为等差数列矛盾!
所以,对任意实数 ,{an}都不可能是等差数列。 7分
(III)解:由an>0,得2n+(-1)n+1 ,
将上式变形为(-1)n ,其中 。 ①
(i)当n为正偶数时,①式化简为 。
因为2- 随着正偶数n的增大而增大,
欲使上式对于任意正偶数恒成立,则 <2 = 。 9分
(ii)当n为正奇数时,①式化简为 。
因为 随着正奇数n的增大而增大,
欲使上式对于任意正奇数恒成立,则 。 11分
综上,若对于任意 ,都有an>0,则 的取值范围是[-2, )。 12分