2016年来宾市高一下学期数学期末试卷（含解析）

2015-2016学年广西来宾市高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的
1．已知角α∈（ ，2π），则下列结论正确的是（　　）
A．sinα＞0 B．cosα＜0 C．tanα＞0 D．sinαcosα＜0
2．若sinα= ，α∈[ ，π]，则sin（ +α）的值为（　　）
A．﹣  B．  C．﹣  D．
3．在△ABC中，D是BC的中点，则 + 等于（　　）
A．2  B．2  C．2  D．2
4．如图所示为某篮球队员身高的茎叶图，则身高不低于180cm的人数为（　　）
 
A．4 B．5 C．7 D．8
5．某程序框图如图所示，该程序运行输出的结果为（　　）
 
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知 =（1，2）， =（x，﹣1），且满足（ + ）∥（ ﹣ ），则x的值为（　　）
A．﹣  B．2 C．  D．﹣2
7．从6个篮球、2个气排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．3个都是篮球 B．至少有1个是气排球
C．3个都是气排球 D．至少有1个是篮球
8．已知f（x）=cos（2x﹣ ），x∈R，则f（x）的其中一个对称中心是（　　）
A．（﹣ ，0） B．（﹣ ，0） C．（ ，0） D．（ ，0）
9．一个袋子中装有大小相同的3个白球，2个红球，现从中同时任取两个，则取出的两个球中至多有1个是白球的概率为（　　）
A．  B．  C．  D．
10．在某次测量中得到E的样本数据如下：80，82，82，84，84，84，84，86，86，86，86．若F的样本数据恰好是E的样本数据都减去2后得到的数据，则关于E，F两样本数据特征的下列说法中，正确的是（　　）
A．E，F样本数据的众数为84 B．E，F样本数据的方差相同
C．E，F样本数据的平均数相同 D．E，F样本数据的中位数相同
11．已知 与 为单位向量，且满足（4 ﹣3 ）•（2 + ）=6，则 与 的夹角为（　　）
A．  B．  C．  D．
12．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（　　）
①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值
③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．化简：  + ﹣ + =　　　　　　．
14．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为　　　　　　个．
15．设集合A={1，2，4}，B={1，2，3}，分别从集合A与B中随机抽取一个数a与b，并记“y=a+2b≥7”为事件A，则P（A）=　　　　　　．
16．已知函数f（x）=sinx﹣2cosx，当x=α时f（x）取得最大值，则cosα=　　　　　　．
　
三、解答题：本大题共6小题，70分）
17．已知sinα= ，0＜α＜ ．
（1）求sin2α的值；
（2）若cos（α﹣β）= ，0＜α＜β＜ ，求cosβ的值．
18．某高中高一六班共有60名同学，学校为了解该班级数学科段考成绩的基本情况，将该班级所有同学的数学科段考成绩绘制频率分布直方图，其中成绩分布分组区间是：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）（60分以下为不及格，满分为100分）
请你回答下列问题
（1）求出该班级这次段考数学科的及格率；
（2）请根据频率直方图，估计该班级60名同学这次段考数学科成绩的平均分．
 
19．已知 =（ sinx，2cosx）， =（3，﹣ ），x∈R．
（1）若f（x）= • ，试求f（x）的值域；
（2）若x= ，且满足2 ﹣ 与 + 相互垂直，求λ的值．
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），|φ|＜ ，图象如下，请回答下列问题．
（1）求该函数的解析式；
（2）求f（x）在x∈[π，2π]上的单调递增区间．
 
21．从某学校随机抽取10名老师，获得第i名老师的月收入xi（千元）与月消费yi（千元）的数据资料，算得果，  xi=30，  yi=10，  xiyi=54，  xi2=170．
（1）已知月收入x与月消费y之间具有线性相关关系，求x与y的线性回归方程，并判断x与y之间是正相关还是负相关；
（2）若该学校某老师的月收入为2.5（千元），预测该老师的月储蓄（月储蓄=月收入﹣月消费）．
（附：在线性回归方 = x+ 中，  = ，  = ﹣  ．
22．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．
（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；
（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．
 
　
 

2015-2016学年广西来宾市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的
1．已知角α∈（ ，2π），则下列结论正确的是（　　）
A．sinα＞0 B．cosα＜0 C．tanα＞0 D．sinαcosα＜0
【考点】三角函数值的符号．
【分析】根据象限角的符号，判断即可．
【解答】解：∵α∈（ ，2π），
∴sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，
∴sinαcosα＜0，
故选：D．
　
2．若sinα= ，α∈[ ，π]，则sin（ +α）的值为（　　）
A．﹣  B．  C．﹣  D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，根据诱导公式化简所求即可得解．
【解答】解：∵sinα= ，α∈[ ，π]，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴sin（ +α）=cosα=﹣ ．
故选：C．
　
3．在△ABC中，D是BC的中点，则 + 等于（　　）
A．2  B．2  C．2  D．2
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】由向量加法的平行四边形法则即可求出 ．
【解答】解：根据条件： ．
故选：B．
　
4．如图所示为某篮球队员身高的茎叶图，则身高不低于180cm的人数为（　　）
 
A．4 B．5 C．7 D．8
【考点】茎叶图．
【分析】由茎叶图，能求出身高不低于180cm的人数．
【解答】解：由茎叶图，得身高不低于180cm的人有：（单位：cm）
183，185，186，188，189，190，192，193，
共8人．
故选：D．
　
5．某程序框图如图所示，该程序运行输出的结果为（　　）
 
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，当S=12时不满足条件S＜10，退出循环，输出k的值为3．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=0，S=0
满足条件S＜10，执行循环体，S=4，k=1
满足条件S＜10，执行循环体，S=8，k=2
满足条件S＜10，执行循环体，S=12，k=3
此时，不满足条件S＜10，退出循环，输出k的值为3．
故选：A．
　
6．已知 =（1，2）， =（x，﹣1），且满足（ + ）∥（ ﹣ ），则x的值为（　　）
A．﹣  B．2 C．  D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据向量的坐标运算和向量平行计算即可．
【解答】解：∵ =（1，2）， =（x，﹣1），
∴ + =（1+x，1）， ﹣ =（1﹣x，3），
∵（ + ）∥（ ﹣ ），
∴3（1+x）=1﹣x，
解得x=﹣ ，
故选：A．
　
7．从6个篮球、2个气排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．3个都是篮球 B．至少有1个是气排球
C．3个都是气排球 D．至少有1个是篮球
【考点】随机事件．
【分析】必然事件是在一定条件下一定发生的事件，根据定义解答即可．
【解答】解：从6个篮球、2个气排球中任选3个球，
A、B、C是随机事件，D是必然事件，
故选：D．
　
8．已知f（x）=cos（2x﹣ ），x∈R，则f（x）的其中一个对称中心是（　　）
A．（﹣ ，0） B．（﹣ ，0） C．（ ，0） D．（ ，0）
【考点】余弦函数的图象．
【分析】利用余弦函数的图象的对称性求得f（x）的其中一个对称中心．
【解答】解：对于知f（x）=cos（2x﹣ ），x∈R，令2x﹣ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，
令k=﹣1，可得其中一个对称中心是（﹣ ，0），
故选：A．
　
9．一个袋子中装有大小相同的3个白球，2个红球，现从中同时任取两个，则取出的两个球中至多有1个是白球的概率为（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】取出的两个球中至多有1个是指取到的两个球都是红球或1红1白，由此能求出取出的两个球中至多有1个是白球的概率．
【解答】解：一个袋子中装有大小相同的3个白球，2个红球，现从中同时任取两个，
基本事件总数n= =10，
取出的两个球中至多有1个是指取到的两个球都是红球或1红1白，
∴取出的两个球中至多有1个是白球的概率为：
p= = ．
故选：C．
　
10．在某次测量中得到E的样本数据如下：80，82，82，84，84，84，84，86，86，86，86．若F的样本数据恰好是E的样本数据都减去2后得到的数据，则关于E，F两样本数据特征的下列说法中，正确的是（　　）
A．E，F样本数据的众数为84 B．E，F样本数据的方差相同
C．E，F样本数据的平均数相同 D．E，F样本数据的中位数相同
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】由已知条件利用众数、平均数、中位数、方差的定义及性质直接求解．
【解答】解：∵在某次测量中得到E的样本数据如下：80，82，82，84，84，84，84，86，86，86，86．
若F的样本数据恰好是E的样本数据都减去2后得到的数据，
∴E样本数据的众数是84和86，F样本数据的众数是82和84，故A错误；
E，F样本数据的方差相同，故B正确；
E样本数据的平均数比F样本数据的平均数大2，故C错误；
E样本数据的中位数比F样本数据的中位数大2，故D错误．
故选：B．
　
11．已知 与 为单位向量，且满足（4 ﹣3 ）•（2 + ）=6，则 与 的夹角为（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件进行向量数量积的运算即可得出 ，从而可求出 的值，进而得出向量 的夹角．
【解答】解：根据条件，
=
=
=6
∴ ；
∴ ；
∴即 与 的夹角为 ．
故选D．
　
12．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（　　）
①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值
③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【考点】命题的真假判断与应用；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．
【分析】根据已知中函数f（x）=ln（cosx），分析出函数的最值及奇偶性，可得答案．
【解答】解：由cosx＞0得：x∈（﹣ +2kπ，  +2kπ），k∈Z，
此时f（x）=ln（cosx）≤ln1=0，
即f（x）在定义域上存在最大值，无最小值，
故①错误，②正确；
又由f（x）=ln[cos（﹣x）]=ln（cosx）=f（x），
故函数为偶函数，
故③错误，④正确，
故选：B
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．化简：  + ﹣ + =　2 　．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量加法的交换律和结合律即可进行化简．
【解答】解：  =
=
=
=
= ．
故答案为： ．
　
14．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为　45　个．
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样原理，每个个体被抽到的比例相等，即可求出结果．
【解答】解：根据分层抽样原理，抽取容量为150的样本，
在B中应抽取的个体数为：
150× =45．
故答案为：45．
　
15．设集合A={1，2，4}，B={1，2，3}，分别从集合A与B中随机抽取一个数a与b，并记“y=a+2b≥7”为事件A，则P（A）=　 　．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数，再求出事件A中包含的基本事件个数，由此能求出事件A的概率．
【解答】解：集合A={1，2，4}，B={1，2，3}，分别从集合A与B中随机抽取一个数a与b，
基本事件总数为n=3×3=9，
“y=a+2b≥7”为事件A，则事件A中包含的基本事件有：
（1，3），（2，3），（4，2），（4，3），
共有m=4个，
∴P（A）= = ．
故答案为： ．
　
16．已知函数f（x）=sinx﹣2cosx，当x=α时f（x）取得最大值，则cosα=　﹣ 　．
【考点】三角函数的最值．
【分析】f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=α时，函数f（x）取得最大值，得到sinα﹣2cosα= ，与sin2α+cos2α=1联立即可求出cosα的值．
【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx= （ sinx﹣ cosx）= sin（x﹣θ）
∵x=α时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（α﹣θ）=1，即sinα﹣2cosα= ，
又sin2α+cos2α=1，
联立得（2cosα+ ）2+cos2α=1，解得cosα=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
　
三、解答题：本大题共6小题，70分）
17．已知sinα= ，0＜α＜ ．
（1）求sin2α的值；
（2）若cos（α﹣β）= ，0＜α＜β＜ ，求cosβ的值．
【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣β）=的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．
【解答】解：（1）∵sinα= ，0＜α＜ ，∴cosα= = ，∴sin2α=2sinαcosα=2• • = ．
（2）若cos（α﹣β）= ，0＜α＜β＜ ，∴sin（α﹣β）=﹣ =﹣ ，
∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + •（﹣ ）= ．
　
18．某高中高一六班共有60名同学，学校为了解该班级数学科段考成绩的基本情况，将该班级所有同学的数学科段考成绩绘制频率分布直方图，其中成绩分布分组区间是：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）（60分以下为不及格，满分为100分）
请你回答下列问题
（1）求出该班级这次段考数学科的及格率；
（2）请根据频率直方图，估计该班级60名同学这次段考数学科成绩的平均分．
 
【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分布直方图能求出该班级这次段考的及格率．
（2）根据频率直方图，能估计该班级60名同学这次段考数学科成绩的平均分．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得，该班级这次段考的及格率为：
（1﹣0.01×10）×100%=90%．
（2）频率分布直方图中，从左往右每个小矩形的底边中点横坐标分别为55，65，75，85，95，
各矩形的面积分别为0.1，0.2，0.3，0.25，0.15，
∴根据频率直方图，估计该班级60名同学这次段考数学科成绩的平均分为：
0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5．
　
19．已知 =（ sinx，2cosx）， =（3，﹣ ），x∈R．
（1）若f（x）= • ，试求f（x）的值域；
（2）若x= ，且满足2 ﹣ 与 + 相互垂直，求λ的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，即可求得f（x）的解析式，由正弦函数性质即可求得f（x）的值域；
（2）当x= ，代入求得 ，根据向量的坐标运算分别求得2 ﹣ 与 + ，利用向量垂直的定义，代入即可求得λ的值．
【解答】解：（1）f（x）= • = sinx×3+2cosx×（﹣ ）
= sinx﹣cosx，
=2sin（x﹣ ），
由正弦函数的性质可知：﹣1≤sin（x﹣ ）≤1，
∴﹣2≤sin（x﹣ ）≤2，
f（x）的值域[﹣2，2]；
（2）当x= ，  =（ ，1），
∴2 ﹣ =（﹣2， ）
 + =（ ， ），
∵（2 ﹣ ）⊥（ + ），
∴（2 ﹣ ）•（ + ）=0，
 ×（﹣2）+ × =0，
解得：λ= ，
λ的值 ．
　
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），|φ|＜ ，图象如下，请回答下列问题．
（1）求该函数的解析式；
（2）求f（x）在x∈[π，2π]上的单调递增区间．
 
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）在x∈[π，2π]上的单调递增区间．
【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ），|φ|＜ 的图象可得A=2，  = ﹣ ，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2• +φ= ，∴φ= ，∴f（x）=2sin（2x+ ）．
（2）令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函数的增区间为[得kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．
再结合x∈[π，2π]，可得函数的增区间为[π， ]、[ ，2π]．
　
21．从某学校随机抽取10名老师，获得第i名老师的月收入xi（千元）与月消费yi（千元）的数据资料，算得果，  xi=30，  yi=10，  xiyi=54，  xi2=170．
（1）已知月收入x与月消费y之间具有线性相关关系，求x与y的线性回归方程，并判断x与y之间是正相关还是负相关；
（2）若该学校某老师的月收入为2.5（千元），预测该老师的月储蓄（月储蓄=月收入﹣月消费）．
（附：在线性回归方 = x+ 中，  = ，  = ﹣  ．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）由题意可知n，  =3，  =2进而代入可得b、a值，可得方程；由回归方程x的系数b的正负可判；
（2）把x=2.5代入回归方程求其函数值即可．
【解答】解：（1）由题意知n=10，  =3，  =2，  xiyi=54，  xi2=170
∴b═ =﹣ ，a=2﹣（﹣ ）×3= ，
故所求回归方程为y=﹣ x+ ．…
由于变量y的值随x的值增加而减小，故x与y之间是负相关．…
（2）将x=2.5代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=2.5﹣（﹣ ×2.5+ ）=0.4625（千元）．…
　
22．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．
（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；
（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．
 
【考点】几何概型．
【分析】（1）根据题意，求出圆O的面积与△ABC的面积，计算点P恰好位于△ABC内的概率值；
（2）建立适当的直角坐标系，求出对应△ABC的面积，计算点Q位于△ABC内的概率与取值范围．
【解答】解：（1）记“所求点恰好位于△ABC内”为事件A，
∵AC为原O的直径，
∴2R= =5，半径R= ，
∴圆O的面积为S圆O=π• = ；
又∵△ABC的面积为S△ABC= ×3×4=6，
∴点P恰好位于△ABC内的概率为
P（A）= = = ；
（2）以O为原点，直线AC为x轴，以过O点并垂直于直线AC的直线为y轴建立直角坐标系，
则有A（﹣1，0），C（1，0），设B（x，y）；
记“所取点Q位于△ABC内”为事件B，
则由题设知﹣1＜x＜1，R2=x2+y2=1，
∵ =（x+1，y）， =（x﹣1，y），
∴| |= = ，
| |= = ，
∴△ABC的面积为
S△ABC= |AB|•| |= × • =  ；
又∵﹣1＜x＜1，∴0＜4﹣4x2＜4，
∴0＜S△ABC＜1；
又∵S圆O=π×12=π，
∴P（B）= ，
∴点Q位于△ABC内的概率取值范围为0＜P（B）＜ ．
 
　
2016年8月12日