浙江台州市2016年高一数学下学期期末试题（含解析）

2015-2016学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．sin50°cos20°﹣cos50°sin20°=（　　）
A．  B．  C．cos70° D．sin70°
2．已知等差数列{an}中首项a1=2，公差d=1，则a5=（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知实数a，b满足a＞b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a3＞b3 B．a2＞b2 C． ＞  D．a2＞ab
4．若实数a，b∈{1，2}，则在不等式x+y﹣3≥0表示的平面区域内的点P（a，b）共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b= ，∠A= 则∠B等于（　　）
A．  B．  C． 或  D．
6．若tan（α+ ）=2，则tanα=（　　）
A．  B．﹣  C．3 D．﹣3
7．已知正实数a，b满足 + =1，则a+b的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．2
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=2，c=1，C= ，则a=（　　）
A．  B．1 C．  D．
9．已知{an}是一个无穷等比数列，则下列说法错误的是（　　）
A．若c是不等于零的常数，那么数列{c•an}也一定是等比数列
B．将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列
C．{a2n﹣1}（n∈N*）是等比数列
D．设Sn是数列{an}的前n项和，那么S6、S12﹣S6、S18﹣S12也一定成等比数列
10．已知﹣ ＜x＜ ，0＜y＜ ，则x﹣y的取值范围（　　）
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ）
11．如图，已知两灯塔A，D相距20海里，甲、乙两船同时从灯塔A处出发，分别沿与AD所成角相等的两条航线AB，AC航行，经过一段时间分别到达B，C两处，此时恰好B，D，C三点共线，且∠ABD= ，∠ADC= ，则乙船航行的距离AC为（　　）
 
A．10 +10 海里 B．10 ﹣10 海里 C．40海里 D．10 +10 海里
12．若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数f（x）=bx2+cx+a的图象可能为（　　）
A．  B．  C．  D．
13．若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为“钝角整数三角形”，下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．2，4，5 C．5，5，6 D．4，13，15
14．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=2，则x2+y2+xy的取值范围（　　）
A．（﹣∞，6] B．[0，6] C．[ ，6] D．[1，6]
　
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分
15．在等差数列{an}中，若a6=1，则a2+a10=　　　　　　．
16．若变量x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值为　　　　　　．
17．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1=2，Sn=an+1（n∈N*），则a4=　　　　　　．
18．已知锐角α，β满足 ，则α+β=　　　　　　．
19．已知各项都不为0的等差数列{an}，设bn= （n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Sn，则a1•a2018•S2017=　　　　　　．
20．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，BC=1，则四边形ABCD面积的取值范围是　　　　　　．
　
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
21．已知函数f（x）=
（1）比较f（1）与f（2）的大小关系；
（2）求不等式f（x）＞ 的解集．
22．已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a1+a2=b4，b1+b2=a2．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）记数列{an+bn}的前n项和为Tn，求Tn．
23．已知函数f（x）=sin（x+ ）cosx．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（α）= ，求sin4α的值．
24．已知函数f（x）=x2﹣2x+t，g（x）=x2﹣t（t∈R）
（1）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的值域（用t表示）
（2）设集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整数t，使得A∩B=A．若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．
25．若正项数列{an}满足：  =an+1﹣an（a∈N*），则称此数列为“比差等数列”．
（1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值；
（2）设数列{an}是一个“比差等数列”
（i）求证：a2≥4；
（ii）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：对于任意n∈N*，都有Sn＞ ．
　
 

2015-2016学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．sin50°cos20°﹣cos50°sin20°=（　　）
A．  B．  C．cos70° D．sin70°
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由已知及两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解答】解：sin50°cos20°﹣cos50°sin20°
=sin（50°﹣20°）
=sin30°
= ．
故选：B．
　
2．已知等差数列{an}中首项a1=2，公差d=1，则a5=（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5项．
【解答】解：∵等差数列{an}中首项a1=2，公差d=1，
∴a5=2+4×1=6．
故选：B．
　
3．已知实数a，b满足a＞b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a3＞b3 B．a2＞b2 C． ＞  D．a2＞ab
【考点】不等式的基本性质；不等式的综合．
【分析】根据已知，结合幂函数的单调性可判断A，举出反例可判断B，C，D，进而得到答案．
【解答】解：若a＞b，则a3＞b3，故A正确；
当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但a2=b2，故B错误；
当a=2，b=1时，满足a＞b，但 ＜ ，故C错误；
当a=0，b=﹣1时，满足a＞b，但a2=ab，故D错误；
故选：A
　
4．若实数a，b∈{1，2}，则在不等式x+y﹣3≥0表示的平面区域内的点P（a，b）共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据题意，写出满足不等式x+y﹣3≥0的点的坐标即可．
【解答】解：∵a，b∈{1，2}，
∴P（a，b）共有2×2=4个，分别是（1，1），（1，2），（2，1）和（2，2）；
满足不等式x+y﹣3≥0的点是（1，2），（2，1）和（2，2）共3个．
故选：C．
　
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b= ，∠A= 则∠B等于（　　）
A．  B．  C． 或  D．
【考点】正弦定理．
【分析】直接利用正弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b= ，∠A= ，
由正弦定理可知：sinB= = = ．
B= 或 ．
故选：C．
　
6．若tan（α+ ）=2，则tanα=（　　）
A．  B．﹣  C．3 D．﹣3
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
【解答】解：∵tan（α+ ）= =2，则tanα= ，
故选：A．
　
7．已知正实数a，b满足 + =1，则a+b的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．2
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵正实数a，b满足 + =1，
则a+b=（a+b） =2+ + ≥2+2 =4，当且仅当a=b=2时取等号．
∴a+b的最小值为4．
故选：C．
　
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=2，c=1，C= ，则a=（　　）
A．  B．1 C．  D．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知及余弦定理可求ab=1，结合a+b=2，联立即可解得a的值．
【解答】解：∵a+b=2，c=1，C= ，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：1=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4﹣3ab，
∴解得：ab=1，
∴a（2﹣a）=1，整理可得：a2﹣2a+1=0，
∴解得：a=1．
故选：B．
　
9．已知{an}是一个无穷等比数列，则下列说法错误的是（　　）
A．若c是不等于零的常数，那么数列{c•an}也一定是等比数列
B．将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列
C．{a2n﹣1}（n∈N*）是等比数列
D．设Sn是数列{an}的前n项和，那么S6、S12﹣S6、S18﹣S12也一定成等比数列
【考点】等比关系的确定．
【分析】利用等比数列的定义，分析4个选项，即可得出结论．
【解答】解：对于A，若c是不等于零的常数，那么数列{c•an}也一定是等比数列，首项为a1，公比为cq，正确；
对于B，将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列，首项为ak+1，公比为q，正确；
对于C，等比数列的奇数项仍是等比数列，正确；
对于D，设Sn是数列{an}的前n项和，那么S6、S12﹣S6、S18﹣S12也一定成等比数列，不正确，比如1，﹣1，1，﹣1，…．
故选：D．
　
10．已知﹣ ＜x＜ ，0＜y＜ ，则x﹣y的取值范围（　　）
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ）
【考点】不等式的基本性质；不等式的综合．
【分析】根据已知结合不等式的基本性质，可得x﹣y的取值范围．
【解答】解：∵0＜y＜ ，
∴﹣ ＜﹣y＜0，
又∵﹣ ＜x＜ ，
∴﹣ ﹣ ＜x﹣y＜ ，
即﹣ ＜x﹣y＜ ，
∴x﹣y∈（﹣ ， ），
故选：D
　
11．如图，已知两灯塔A，D相距20海里，甲、乙两船同时从灯塔A处出发，分别沿与AD所成角相等的两条航线AB，AC航行，经过一段时间分别到达B，C两处，此时恰好B，D，C三点共线，且∠ABD= ，∠ADC= ，则乙船航行的距离AC为（　　）
 
A．10 +10 海里 B．10 ﹣10 海里 C．40海里 D．10 +10 海里
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】求出∠ACD= ，△ACD中，由正弦定理可得乙船航行的距离AC．
【解答】解：∵∠ABD= ，∠ADC= ，
∴∠BAD= =∠CAD，
∴∠ACD=
△ACD中，由正弦定理可得 ，
∴AC=10 +10 海里，
故选：A．
　
12．若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数f（x）=bx2+cx+a的图象可能为（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】函数的图象；二次函数的性质．
【分析】根据韦达定理和不等式的解集得到b=a，c=﹣2a，a＜0，即f（x）=a（x﹣1）2，故可判断．
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，
∴a＜0且﹣ =﹣2+1，  =﹣2×1，
即b=a，c=﹣2a，a＜0，
∴f（x）=bx2+cx+a=ax2﹣2ax+a=a（x﹣1）2，
故f（x）=bx2+cx+a的图象开口向下，且最大值为0，关于x=1对称，
故选：C．
　
13．若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为“钝角整数三角形”，下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．2，4，5 C．5，5，6 D．4，13，15
【考点】正弦定理．
【分析】设三角形的最大角为θ，则利用余弦定理可求cosθ，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用三角形面积公式可求三角形面积，逐一判断各个选项即可．
【解答】解：设三角形的最大角为θ，则：
对于A，cosθ= =﹣ ，sinθ= = ，S= ×2×3× = ，不能；
对于B，cosθ= =﹣ ，sinθ= = ，S= ×2×4× = ，不能；
对于C，cosθ= = ，故三角形为锐角三角形，不符合条件；
对于D，cosθ= =﹣ ，sinθ= = ，S= ×4×13× =24，符合条件；
故选：D．
　
14．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=2，则x2+y2+xy的取值范围（　　）
A．（﹣∞，6] B．[0，6] C．[ ，6] D．[1，6]
【考点】二维形式的柯西不等式．
【分析】设x2+y2+xy=A，分别求得x2+y2和2xy，分别构造（x+y）2≥0及（x﹣y）2≥0，解关于A的不等式，即可求得A的取范围．
【解答】解：设x2+y2+xy=A，
∵x2+y2﹣xy=2，
两式相加可得，2（x2+y2）=2+A      （1）
两式相减得得：2xy=A﹣2      （2）
（1）+（2）×2得：
2（x2+y2）+4xy=2（x+y）2=3A﹣2≥0
∴A≥ ，
（1）﹣（2）×2得：
2（x﹣y）2=﹣A+6≥0，
∴A≤6
综上： ≤A≤6，
故选：C．
　
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分
15．在等差数列{an}中，若a6=1，则a2+a10=　2　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出a2+a10．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a6=1，
∴a2+a10=a1+d+a1+9d=2（a1+5d）=2a6=2．
故答案为：2．
　
16．若变量x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值为　4　．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线结合图象求出z的最小值即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
 ，
由 ，解得A（1，2），
由z=2x+y得：y=﹣2x+z，
结合图象直线y=﹣2x+z过A（1，2）时，z最小，z的最小值是4，
故答案为：4．
　
17．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1=2，Sn=an+1（n∈N*），则a4=　8　．
【考点】数列递推式．
【分析】分别令n=1，2，3，由数列递推公式能够依次求出a2，a3，a4．
【解答】解：∵a1=2，an+1=Sn（n∈N*），
∴a2=S1=2，
a3=S2=2+2=4，
a4=S3=2+2+4=8．
故答案为：8．
　
18．已知锐角α，β满足 ，则α+β=　 　．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】由α、β∈（0， ），利用同角三角函数的关系算出cosα、sinβ的值，进而根据两角和的余弦公式算出cos（α+β）= ，结合α+β∈（0，π）可得α+β的值．
【解答】解：∵α、β∈（0， ），满足 ，
∴cosα= = ，sinβ= = ．
由此可得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= • ﹣ • = ．
又∵α+β∈（0，π），∴α+β= ．
故答案为：
　
19．已知各项都不为0的等差数列{an}，设bn= （n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Sn，则a1•a2018•S2017=　2017．　．
【考点】数列的求和．
【分析】利用裂项求和，代入计算，即可得出结论．
【解答】解：设an=kd+b（k≠0，d≠0），则bn= = （ ﹣ ），
∴Sn= （ ﹣ ），
∴a1•a2018•S2017=a1•a2018• （ ﹣ ）=a1•a2018• • =2017，
故答案为：2017．
　
20．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，BC=1，则四边形ABCD面积的取值范围是　（ ， ）　．
【考点】解三角形．
【分析】把AB长度调整，两个极端分别为C，D重合，A，D重合分别计算两种极限前提下AB的长度，利用割补法求出四边形ABCD面积的取值范围．
【解答】解：平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，∴∠C=90°．
当把AB长度调整，两个极端分别为C，D重合时，AB=BC=1；
当A，D重合时，由正弦定理得 = ，解得AB=2；
故AB的取值范围是（1，2），
设AD=x，则AO=x，∠OAD=120°四边形ABCD面积S= ﹣ = ﹣ ，
∵OB=2，∴x∈（0，1），∴S∈（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
 
　
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
21．已知函数f（x）=
（1）比较f（1）与f（2）的大小关系；
（2）求不等式f（x）＞ 的解集．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）分别算出f（1）和f（2）的值，比较大小即可得出答案；
（2）当x＞1时，解出x的范围；当x≤1时，解出x的范围，两者取并集．
【解答】解：（1）∵f（1）=﹣3，f（2）= ，
∴f（1）＜f（2）；
（2）当x＞1时，f（x）= ＞ ，∴1＜x＜2，
当x≤1时，f（x）=﹣x﹣2＞ ，∴x＜﹣ ，
∴不等式f（x）＞ 的解集为{x|1＜x＜2或x＜﹣ }．
　
22．已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a1+a2=b4，b1+b2=a2．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）记数列{an+bn}的前n项和为Tn，求Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设出公比和公差，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程组求出公比和公差，再求出an、bn；
（2）由（1）求出an+bn，利用分组求和法、等比、等差数列的前n项和公式求出Tn．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，
由a1=b1=1得，an=1×qn﹣1，bn=1+（n﹣1）d，
由a1+a2=b4，b1+b2=a2得， ，
解得d=1，q=3，
所以an=3n﹣1，bn=n；
（2）由（1）得，an+bn=n+3n﹣1，
∴Tn=（1+30）+（2+32）+…+（n+3n﹣1）
=（1+2+…+n）+（30+32+…+3n﹣1）
= = ．
　
23．已知函数f（x）=sin（x+ ）cosx．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（α）= ，求sin4α的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；
（2）由（1）化简f（α）= ，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出sin4α的值．
【解答】解：（1）由题意得f（x）=sin（x+ ）cosx
= =
= ，
由 得，
 ，
∴函数f（x）的单调递增区间是 ；
（2）由（1）得，f（α）= = ，
∴ ，
∴ =﹣[1﹣ ]
= ．
　
24．已知函数f（x）=x2﹣2x+t，g（x）=x2﹣t（t∈R）
（1）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的值域（用t表示）
（2）设集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整数t，使得A∩B=A．若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数的性质；函数的值域．
【分析】（1）通过配方求出f（x）的值域；
（2）求出集合A，通过讨论t的范围，求出集合B，解不等式求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣1）2+t﹣1，x∈[2，3]，
对称轴x=1，f（x）在[2，3]递增，
∴x=2时，f（x）最小，f（2）=t，
x=3时，f（x）最大，f（3）=t+3，
∴f（x）的值域是[t，t+3]；
（2）由（1）得：A=[t，t+3]，B即为|g（x）|的值域，
∵A∩B=A，∴A⊆B，
∵g（x）=x2﹣t，x∈[2，3]，
假设存在正整数t符合要求，
①当1≤ ≤2时，即1≤t≤4时，
|g（x）|的值域是B=[4﹣t，9﹣t]，
由4﹣t≤t＜t+3≤9﹣t，
∴2≤t≤3，
∴t=2或3，
②当2＜ ＜3时，即4＜t＜9时：
|g（x）|的值域B=[0，M]，其中M=max{﹣f（2），f（3）}=max{t﹣4，9﹣t}，
显然当4＜t＜9时，t+3＞t﹣4且t+3＞9﹣t，不符舍去，
③当 ≥3即t≥9时，
|g（x）|的值域是B=[t﹣9，t﹣4]，
由t﹣9≤t+3≤t﹣4，解集为空，
综上t=2或3．
　
25．若正项数列{an}满足：  =an+1﹣an（a∈N*），则称此数列为“比差等数列”．
（1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值；
（2）设数列{an}是一个“比差等数列”
（i）求证：a2≥4；
（ii）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：对于任意n∈N*，都有Sn＞ ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）根据“比差等数列”的定义，写出一个“比差等数列”的前3项即可；
（2）（i）当n=1时可得 ，求出a2利用分离常数法化简，由an＞0可得a1＞1，利用基本不等式证明a2≥4；
（ii）由an＞0得an+1﹣an= ≥0，得an+1≥an＞0从而得到an+1﹣an= ，列出n﹣1个不等式并相加得an≥n+2（n≥2），当n≥2时利用放缩法和等差数列的前n项和公式化简后，得到Sn的不等式再验证n=1时是否成立即可．
【解答】（1）解：一个“比差等数列”的前3项可以是：2，4， ；
（2）（i）证明：当n=1时， ，
∴ = = = ，
∵an＞0，∴ ，则a1﹣1＞0，即a1＞1，
∴ ≥2 +2=4，
当且仅当 时取等号，
则a2≥4成立；
（ii）由an＞0得，an+1﹣an= ≥0，
∴an+1≥an＞0，则an+1﹣an= ，
由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，an﹣an﹣1≥1，
以上 n﹣1个不等式相加得，an≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），
当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an
≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2
= ﹣2= ，
当n=1时，由（i）知S1=a1＞1≥ ，
综上可得，对于任意n∈N*，都有Sn＞ ．
　
2016年8月6日