北京海淀区2016年高一数学下学期期末试题（含答案）

海淀区高一年级第二学期期末练习
               数  学            2016.7
学校          班级           姓名          成绩          
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式 的解集为                                      （     ）
  A.                   B.  
  C.                      D.  
2. 若等差数列 中， ，则 的前5项和 等于                （     ）
  A．10   B．15        C．20         D． 30
3．当 ， ， 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为    （     ）
  A．            B．        
  C．              D． 

4．设 且 ，则下列不等式成立的是（   ）
  A．       B．       
C．               D．

5．若向面积为2的 内任取一点 ，并连接 ， ，则 的面积小于1的概率为                                                             （    ）
   A.              B.            C.          D. 
6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C（元），其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是                                            （    ）
A. 20≤x≤30            B. 20≤x≤45        C. 15≤x≤30            D. 15≤x≤45
7. 在 中， ， ， 所对应的边分别为 ， ， . 若 ， ，则 等于                                                          （    ）
A.               B.     C.   或       D.  或
8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：
初一年级 平均值为2，方差为2
初二年级 平均值为1，方差大于0
高一年级 中位数为3，众数为4
高二年级 平均值为3，中位数为4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是                      （    ）
A. 初一年级        B.初二年级        C.高一年级           D.高二年级                         

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9．若实数 满足 ， ，则 的取值范围是            ．
10．公比为2的等比数列 中，若 ，则 的值为            ．
11．如图，若 ，则输出的 值等于_________．
12．函数 的最大值为_________，
此时 的值为_________．

 
                                                                    
13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知 =       .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在 年龄段抽取的人数应为_________．
14．设数列 使得 ，且对任意的 ，均有 ，则 所有可能的取值构成的集合为            ； 的最大值为            .

三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列 满足 ， 是 与 的等比中项
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，判断数列 是否为等比数列. 如果是，求数列 的前 项和 ，如果不是，请说明理由.

16. （本小题满分12分）
如图，在 中，点 在 边上， ， .
（Ⅰ）若 ，求 的面积；
（Ⅱ）若 ， ,求 的值.

17. （本小题满分12分）
  某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：
 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
A型数量/台 12 8 15 22 18
B型数量/台 7 12 10 10 12
C型数量/台 C1 C2 C3 C4 C5
（Ⅰ）求 A型空调平均每周的销售数量；
（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；
（III）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论） 
18. （本小题满分8分）
高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第 次得到的点数为 ，若存在正整数 ，使得 ，则称 为游戏参与者的幸运数字.
（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；
（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.

海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案   2016.7
数  学 
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
1.D    2.B   3.B    4.A    5.D    6.B    7.C     8.A
二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)
9.                 10.  12                 11.            
 12.   ,  2            13.   , 10           14.   ,  2016  
三、解答题: 本大题共4小题，共44分.
15．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 （ ），则由 得
              ； .         --------------------------2分
             因为 是 与 的等比中项，所以 ，
             即 ，                            --------------------------4分
             解得 （舍）或 ，                      --------------------------5分
             故数列 的通项公式为 .--------------------------6分
    （Ⅱ）由 ，得
          （1）当 时，                     --------------------------7分
    （2）当 时，              --------------------------9分
             故数列 为以2为首项，4为公比的等比数列，有
             .             -------------------------12分

                                      
16. （Ⅰ）解法一：当 时，
         的面积   -----------2分
 的面积 -----------4分
 的面积         -----------5分
      

        解法二：当 时，过点 作 于点 ,如上图所示,--------2分
        因为 ，所以 . ----------4分
        又因为 ，所以 .                  
        所以 的面积 .                   ---------5分

  （Ⅱ）解法一：当 ， 时，  ----------6分
        在 中，由余弦定理
                              -----------7分
          
        故 .                                              -----------9分
        在 中，由正弦定理得 ，            -----------10分
        即 ，整理得 .              -----------12分
  

   解法二：当 ， 时，
          过点 作 于点 ,如图所示,                        -----------6分
        因为 ，所以 .  ---------7分
         ,                        -----------9分
        又因为 ，所以 . 
       所以 .                          -----------10分
       所以                            -----------12分

17．解：（Ⅰ）A型空调平均每周的销售数量 （台）； ----------4分
       （Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B型空调”为事件 ，           ----------5分
        则事件 包含12个基本事件，                               ----------6分
        而所有基本事件个数为 ，                          ----------7分
        所以 ；                                      ----------8分
       （III）10台.                                               ------------12分

18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件               -------------1分
        由题意知 ，抛掷了1次骰子，
        相应的基本事件空间为 ，共有6个基本事件， -------------2分
        而 ，只有1个基本事件，                             ------------3分
        所以                                              ------------4分

      （Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件 ，              ------------5分
       由题意知 ，抛掷了2次骰子，
       相应的基本事件空间为 ，
       共有36个基本事件，                                        -----------6分
       而 ，共有5个基本事件，        ----------7分
       所以  .                                            -----------8分

注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见

第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答

8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.
为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为 ，并且 .

A. 初一年级：平均值为2，方差为2.
易知 且 .由于14<16，所以 ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式：
① ；
②
对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.

B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.
如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了 ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.

C. 高一年级：中位数为3，众数为4.
易知 ，由于众数为4，可知 三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要 且 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.

D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.
易知 ，如果出现的不符合的情况，需要让 尽量小，所以令 ，同时为了让 尽量的大，则只需令 ,由已知可知 ，所以此时 ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：
0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7；
0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6；
0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.

综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.
14. 设数列 使得 ，且对任意的 ，均有 ，则 所有可能的取值构成的集合为            ； 的最大值为            .
解析:   设 ，则
       （1）若 ，   ，则
若 ， ，则
若 ，   ，则
若 ， ，则
  （2）
             注意到 ， ，得
             

17.（Ⅲ）解：由于 型空调的每周销售数量 互不相同，
所以不妨设 ，
因为 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，
所以 ， .
为了让 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让 最大即可 ，
由于 ，
所以易知 ，
当 时，由于 ， ，
所以 ， 
此时必然有 ，
而与题目中所要求的每周销售数量 互不相同矛盾，故 .
当 时，由于 ， ，
所以 ， ，且 ，
若不存在 的情况，则 的最大值为 ，所以必有 ，即 ，
而此时 ， ， 易知 ，符合题意，故 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.