2018年高二数学下学期期末复习试卷（文科有答案河南郑州一中）

一中2017-2018学年下学期高二年级期末复习试卷
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018•三明质检]已知集合 ， ， （    ）
A．  B．  C．  D．
2．[2018•乐山四校联考]峨眉山市2017年各月的平均气温 数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是（    ）
 
A．19 B．20 C．  D．23
3．[2018•昆明质检]若复数 是纯虚数，且 （ ， 是虚数单位），则 （    ）
A．1 B．2 C．  D．
4．[2018•银川二中]如图，分别以 ， 为圆心，正方形 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（    ）
 
A．  B．  C．  D．
5．[2018•湘潭模拟]若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则此双曲线的实轴长为（    ）
A．2 B．4 C．18 D．36
6．[2018•南昌二中]如图，各棱长均为 的正三棱柱 ， 、 分别为线段 、 上的动点，且 平面 ，则这样的 有（    ）
 
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．[2018•榆林模拟]已知实数 ， 满足 ，则 的最大值与最小值之和为
（    ）
A．  B．  C．  D．1
8．[2018•漳州质检]函数 的图象大致为（    ）
A．   B．
C．   D．
9．[2018•济南一中]下列关于函数 的判断正确的是（    ）
① 的解集是 ；
② 极小值， 是极大值；
③ 没有最小值，也没有最大值．
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
10．[2018•三明质检]我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（    ）
 
A．  B．  C．  D．
11．[2018•长郡中学]在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，且 ，则 （    ）
A．  B．  C．  D．
12．[2018•玉林高中]已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ， 为椭圆 的右焦点，圆 上有一动点 ， 不同于 ， 两点，直线 与椭圆 交于点 ，则 的取值范围是（    ）
A．   B．
C．   D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018•昆明检测]已知向量 ， ， ，若 ，则 ________．
14．[2018•清江中学]曲线 在 处的切线的方程为________．
15．[2018•嘉兴一中]已知 ，则 _________．
16．[2018•潍坊二模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为_________．
 
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2018•大庆实验中学]等比数列 中，已知 , ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， 分别为等差数列 的第8项和第32项，求数列 的通项公式及前 项和 ．

18．（12分）[2018•天一大联考]如图（1）所示，长方形 中， ， 是 的中点，将 沿 折起，使得 ，如图（2）所示，在图（2）中，
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
 

19．（12分）[2018•烟台适应]某中学为调查该校学生每周参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动的时间（单位：小时），将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在 内的学生有1人．
 
（1）求样本容量 ，并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值；
（2）将每周参加社会实践活动时间在 内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在 内定义为“不经常参加社会实践”．已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有13人成绩等级为“优秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的13人中“经常参加社会实践活动”的有12人．请将 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为青少年科技创新大赛成绩“优秀”与经常参加社会实践活动有关；
（3）在（2）的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新班，求其中恰好一人成绩优秀的概率．
参考公式和数据：
 ， ．
          
          

 一般 优秀 合计
不经常参加   
经常参加  12 
合计  13 

20．（12分）[2018•南阳一中]在平面直角坐标系 中，与点 关于直线 对称的点 位于抛物线 上．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作两条倾斜角互补的直线交抛物线 于 ， 两点（非 点），若 过焦点 ，求 的值．

21．（12分）[2018•夏邑一中]已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）证明: ．

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）[2018•湛江二模] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，点 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 的两个交点分别为 、 ，求 的值．

23．（10分）[2018•岳阳一中] 选修4-5：不等式选讲
设函数 ， ．
（1）证明： ；
（2）若不等式 的解集是非空集，求 的范围．

文科数学 答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由集合 中的不等式变形得 ，解得 或 ，
即 ，则 ．故选C．
2．【答案】B
【解析】由题意得，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32．
根据中位数的定义，可知其中位数为20．故选B．
3．【答案】A
【解析】根据复数 是纯虚数，设 ． ， ，即 ．
 ， ， ．故选A．
4．【答案】B
【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，
每个弓形的面积为 ，故所求的概率为 ．故选B．
5．【答案】C
【解析】由双曲线的方程 ，可得一条渐近线的方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线的实轴长为 ．故选C．
6．【答案】D
【解析】由题意得 ．在 上分别取 ， ，使 ，
过 ， 作 ， ，垂足分别为 ， ，则 ， ，
故 ， ．
 
 ， ， ，可得 平面 ．
 平面 ， 平面 平面 ．由于 平面 ，
所以 平面 ，从而满足条件的 有无数条．故选D．
7．【答案】C
【解析】作出可行域，如图 内部（含边界），作直线 ，
平移直线 ，当 过 时 取得最大值10，
当 过 时 取得最小值 ，两者之和为 ．故选C．
 
8．【答案】A
【解析】易知 的定义域为 ，
且 ，
即函数 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项C、D；
又 ，故排除选项B，故选A．
9．【答案】D
【解析】由 ，故①正确；
 ，由 得 ，由 得 或 ，
由 得 ， 的单调减区间为 和 ，
单调增区间为 ． 的极大值为 ，极小值为 ，故②正确；
 时， 恒成立． 无最小值，但有最大值 ，故③不正确．
故选D．
10．【答案】A
【解析】由题意，判断框内应该判断 的值是否同时能被二除余一，被三除余一，
即判断 是否为整数．故选A．
11．【答案】B
【解析】 ， ，
 ， ，
 （ 舍去），
 ， ．故选B．
12．【答案】D
【解析】由题意得 ， ， ， ．
设点 的坐标为 ，则
 ．
 ，
又 且 ， 或 ，
故 的取值范围为 ．选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】30
【解析】 向量 ， ，若 ， ，
 ， ， ， ，
 ， ．
14．【答案】
【解析】 的导数为 ，可得在点 处的切线斜率为 ，
即有在点 处的切线方程为 ．故答案为 ．
15．【答案】
【解析】 ， ，
即 ， ．
16．【答案】
【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，记作 ，如图所示：
 
其中 平面 ， ，平面 为边长为1的正方形，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径．
 外接球的直径为 ，即 ．
 该几何体的外接球的体积为 ．故答案为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ， ．
【解析】（1）设 的公比为 ，由已知得 ，解得 ，所以 ．
（2）由（1）得 ， ，则 ， ，
设 的公差为 ，则有 ，解得 ，
 ，
数列 前 项和 ．
18．【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）在长方形 中，因为 ， 是 的中点，
所以 ，从而 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ， ．
设点 到平面 的距离为 ，
由（1）知 平面 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
19．【答案】（1） ， 小时；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1）由题意得活动时间在 的频率为 ，
又因为参加社会实践活动的时间在 内的有1人，所以样本容量 ．
根据频率分布直方图，该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值为:
 （小时）．
（2）由题意得“不经常参加社会实践”的学生有 人，
所以列联表如下：
 
由表中数据可得 ．
所以在犯错误的概率不超过 的前提下可以认为“青少年科技创新大赛成绩优秀与经常参加社会实践活动有关系”．
（3）由（2）知不经常参加社会实践活动的有5人，其中成绩优秀的有1人．
设成绩优秀的编号为1，成绩一般的学生有4人，编号依次为 ， ， ， ．
所有参加培训的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种．恰好一人成绩优秀的情况有： ， ， ， ，共4种．
所以由古典概型计算公式得所求概率为 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设 ，则 ，解之得 ，
代入 得 ，所以抛物线 的方程为 ．
（2）显然直线 的斜率是存在的，设直线 的方程 ，
设直线 的方程 ，设 ， ，
联立方程 消元，得 ，
 ， ， ，
故 ，同理， ，
 ，
若 ，因为 ， ，
若 ，同理可求 ．
21．【答案】（1） ；（2）见解析．
【解析】（1）解：由已知得 ，
因为 ，所以 ．
（2）证明：由（1）知 ，
所以 ．
设 ， ，要证 ，即要证 在 恒成立．
因为 ，所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 ．①
又 ，所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ．②
由于不等式①，②不能同时取等号，故 ，
所以 成立．
22．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）消去参数可得直线 的普通方程为 ，即 ，
极坐标化为直角坐标可得曲线 的直角坐标方程为 ，即 ．
（2）点 在直线 ： 上，将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，
 ，设两根为 ， ， ， ，故 与 异号，
 ， ．
 ．
23．【答案】（1）2；（2） ．
【解析】（1）函数 ， ，
则
 ．
（2） ， ．
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
于是 的值域为 ．
由不等式 的解集是非空集，即 ，
解得 ，由于 ，则 的取值范围是 ．