2017-2018高二文科数学下学期期末试题（含答案河北磁县滏滨中学）

邯郸市滏滨中学2017-2018学年高二下学期期末考试
文科数学
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集 2，3， ，若 ，则 　　
A.   B.   C.   D. 
2. 设复数z满足 ，则 　　
A.   B.   C.   D. 2
3. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 　　
A.   B.   C.   D. 
4. 设双曲线 的离心率是3，则其渐近线的方程为 　　
A.   B.   C.   D. 
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 　　
A. 
B. 
C. 
D. 

5. 若 ，则 　　
A.   B.   C.   D. 
6. 点 ， 为椭圆 的左右焦点，若椭圆上存在点A使 为正三角形，那么椭圆的离心率为 　　
A.   B.   C.   D. 
7. 如图框图，当 ， ， 时， 等于 　　 
A. 7 B. 8 C. 10 D. 11
8. 已知函数 的最小正周期为 ，将该函数的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则 的图象 　　
A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称
C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称
9. 在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 若     ，则 的形状是 　　
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
10. 已知直线 是 的切线，则k的值是 　　
A. e B.   C.   D. 
11. 已知函数 ， 若 存在2个零点，则a的取值范围是 　　
A.   B.   C.   D. 
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
12. 设向量 ，且 ，则  ______ ．
13. 设x，y满足约束条件 ，则 的最小值为______ ．
14. 已知直线l： 与圆C： 相切，则 ______．
15. 在三棱锥 中， 平面BCD， ， ，则该三棱锥的外接球的体积为______．
三、解答题（本大题共5小题，17题10分其它每题12分共60.0分）
16. 已知 是递增的等差数列， ， 
 Ⅰ 求数列 的通项公式；
 Ⅱ 若 ，求数列 的前n项和 ．

17. 如图，ABCD是菱形， 平面ABCD， ， ．
 Ⅰ 求证：平面 平面PAC；
 Ⅱ 求点A到平面PBD的距离．

18. 国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
 支持 不支持 合计
年龄不大于50岁 ______  ______  80
年龄大于50岁 10 ______  ______
合计 ______  70 100
 根据已知数据，把表格数据填写完整；
 能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？
 已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．
附： ， ，
        
k       

19. 已知抛物线C： 上的点 到其焦点F的距离为 ．
 Ⅰ 求C的方程；
 Ⅱ 已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．

20. 设函数 ．
 讨论 的单调性；
 当 时， ，求a的取值范围．

21. 已知直线l的参数方程为 为参数 ，曲线C的极坐标方程为 ，直线l与曲线C交于A，B两点，点 ，
 求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
 求 的值．

22. 已知函数 ．
 当 时，解不等式 ；
 若存在 满足 ，求实数a的取值范围．

 
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. B 8. B
9. B 10. C 11. C 12. C 
13.   
14.   
15.   
16.   
17. 解： Ⅰ 设等差数列的公差为d， ，
 ， 
 ，
 ，
解得 或 舍 ， 分 
 分 
代入： ，
 数列 的通项公式为：   分 
 Ⅱ   分 
 数列 的前n项和：
 
 分 
 
     分  
18.  Ⅰ 证明：由ABCD是菱形可得 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，又 ，
所以 平面PAC，又 平面PBD，
故平面 平面PAC．
 Ⅱ 解：由题意可得： ， ，
所以 ．
又 ．
所以三棱锥 的体积 ．
设点A到平面PBD的距离为h，
又 ，
所以 ， ．
故点A到平面PBD的距离h为 ． 
19. 20；60；10；20；30 
20. 解： Ⅰ 由题意，得 ，即 ．
由抛物线的定义，得 ．
由题意， 解得 ，或 舍去 ．
所以C的方程为 ．
 Ⅱ 证法一：设直线PA的斜率为 显然 ，则直线PA的方程为 ，则 ．
由 消去y并整理得 ．
设 ，由韦达定理，得 ，即 ． 所以 ．
由题意，直线PB的斜率为 ．
同理可得 ，即 ．
若直线l的斜率不存在，则 解得 ，或 ．
当 时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；
当 时，直线PA与直线PB的斜率均为 ，A，B两点重合，与题意不符．
所以，直线l的斜率必存在．
直线l的方程为 ，即 ．
所以直线l过定点 ．
证法二：由 ，得 ．
若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．
设 ，则 ， ．
则 ．
 ，否则， ，则 ，或 ，直线l过点P，与题设条件矛盾
由题意， ，所以 这时A，B两点重合，与题意不符．
所以l的斜率必存在．
设l的斜率为k，显然 ，设l： ，
由直线l不过点 ，所以 ．
由 消去y并整理得 ．
由判别式 ，得 ．
设 ， ，则 ， ，
则 ．
由题意， ．
故
将 代入 式并化简整理得 ，即 ．
即 ，即 ．
又 ，即 ，所以 ，即 ．
所以l： 显然l过定点 ．
证法三：由 ，得 ．
设l： ，由直线l不过点 ，所以 ．
由 消去x并整理得 ．
由题意，判别式 ．
设 ， ，则 ，
则 ．
由题意， ，即
将 代入 式得 ，即 ．
所以l： 显然l过定点 ． 
21. 解： 因为 ， ，
所以 ，
令 可知 ，
当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
 由题可知 下面对a的范围进行讨论：
 当 时，设函数 ，则 ，
因此 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
所以 ；
 当 时，设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 ．
因为当 时 ，
所以 ，
取 ，则 ，
所以 ，矛盾；
 当 时，取 ，则 ，矛盾；
综上所述，a的取值范围是 ．