江西上饶市2017-2018高二下学期数学期末试题（理科附答案）

上饶市2017-2018学年度下学期期末教学质量测试
高二数学（理科）试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
2. ，根据上述规律，得到 （    ）
A.    B.     C.     D.
3. 用反证法证明命题“ 的两根绝对值都小于1”时，应假设（    ）
A.方程 的两根的绝对值存在一个小于1
B.方程 的两根的绝对值至少有一个大于等于1
C.方程 没有实数根
D.方程 的两根的绝对值存都不小于1
4. 已知命题 ，则命题 （    ）
A.     B. 
C.    D. 
5．函数y= ﹣3x+9的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 下列有关命题的说法正确的是（    ）
A.命题“若 则 ”的否命题为“若 则 ”
B．“ ”是 “ ”的必要不充分条件
C. 命题若“ ”则“ ”的逆否命题为真
D．命题“ ”的否定是“对
7．曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
A．  e2     B．2e2    C．e2       D．  e2
8.已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 两点，若 中点 的坐标为 ，则原点 到直线 的距离为（   ）
A．          B．        C.          D．
9．若y＝∫(sin t＋cos tsin t)dt，则y的最大值是(　　)
A．1    B．2    C．－72     D．0
10．已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若 =2 ，且| |=4，则双曲线C的方程为（　　）
A． ﹣ =1     B． ﹣ =1     C． ﹣ =1     D． ﹣ =1
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A.错误！未找到引用源。   B.错误！未找到引用源。    C.错误！未找到引用源。   D.错误！未找到引用源。
12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）= x3﹣ x2+ax﹣ （a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈ [0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（　　）
A．（1， ]    B．[9，+∞） 
C．（1， ]∪[9，+∞） D．[ ， ]∪[9，+∞）
二、填空题（每题5分，共20分）
13.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为　　　　.
14.已知函数 为         。
15.已知命题 范围是        。
16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为          ．

三、解答题（共70分）
17.（本题共12分）
（1）设命题
     
（2）已知复数

18．（本题共12分）
 

19．（本题共12分）
在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为 ，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
 

20.（本题共12分）
已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，右顶点为 ， 的外接圆半径为 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 两点，若以 为直径的圆经过点 ，求 面积的最大值.

21.（本题共12分）
 
   至少存在一点

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中采取相同的单位长度.曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （ 为参数）.
（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程；
（2）设点 ，若直线 与曲线 交于 两点，求 的值.

23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|
（Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若对任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
 
答案
1-5：BCBDC    6-10:CDDBD    11-12:BC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、                14、y=8x-16     15、(0,1)      16、
三、解答题（本大题共6小题，70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分12分）
 
19、（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）     又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）                 又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，      所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．
在Rt△BOE中， ，BO=1，所以 ．   
在Rt△PEO中， ， ，所以 ．
所以 ，又 ，         所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（6分）

如图，以 建立空间直角坐标系，
 ，B（0，1，0）， ， ， ， ， ．（9分）
设面BEC的法向量为 ，则 ，
即 ，得方程的一组解为 ，
即 ．（10分）
又面AEC的一个法向量为 ，（11分）
所以 ，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为 ．（12分）
 
20、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 右顶点为 ，  ，
  ，  
 椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ， 
与椭圆联立得
  ．
 以 为直径的圆经过点 ， 
 
  ①
  ，
代入①式得   或 （舍去），
故直线 过定点 ．
  ， 
令 ，
则
  在 上单调递减，
  时， ．

 
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.（10分）
22□          23□
      22.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为 ，
直线 的普通方程为 ．
（Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 ，
得 ， ， 异号，
 

23.解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜4，即|x﹣2|+|x﹣1|＜4，
可得 ，或 或 ，
解得：﹣ ＜x＜ ，所以不等式的解集为{x|﹣ ＜x＜ }．
（Ⅱ）∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|，当且仅当（x﹣a）（x﹣1）≤0时等号成立，
由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，
即a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．