2017-2018高二理科数学下学期期末试题（附答案河北磁县滏滨中学）

邯郸市滏滨中学2017-2018学年高二年级第二学期期末考试
理科数学
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合 ， ，则 　　
A.   B.   C.   D. 
2. 设复数z满足 ，则 　　
A.   B.   C.   D. 2
3. 已知下表所示数据的回归直线方程为 ，则实数a的值为
x  2  3  4  5  6
y  3  7 11  a  21
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
4. 方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是 　　
A.   B.   C.   D. 
5. 设等比数列 的前n项和为 ，且满足 ，则 　　
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
6. 如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是 　　
A.   B.   C.   D. 
7. 在如图所示的计算 的值的程序框图中，判断框内应填入 　　
A. 
B. 
C. 
D. 

8. 抛物线 上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 　　
A.   B.   C.   D. 
9. 函数 的部分图象大致为 　　
A.   B. 
C.   D. 
10. 如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为 　　

A.   B.   C.   D. 
11. 经过椭圆 的一个焦点作倾斜角为 的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则 等于 　　
A.   B.   C.   D. 
12. 已知函数 ，给出下列四个说法：
 ； 函数 的周期为 ；
 在区间 上单调递增； 的图象关于点 中心对称
其中正确说法的序号是 　　
A.   B.   C.   D. 
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量 ，若 与 垂直，则m的值为______ ．
14.  的展开式中常数项为______ ．
15. 设 ，函数f  是偶函数，若曲线   的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为______ ．
16. 若直线l： 与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆 截得的弦长为4，则 为坐标原点 的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.  的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ， ， ．
 求c的值；
 Ⅱ 求 的面积．

18. 如图，斜三棱柱 中，侧面 为菱形，底面 是等腰直角三角形， ， C.
 求证：直线 直线 ；
 若直线 与底面ABC成的角为 ，求二面角 的余弦值．

19. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在 内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．
 
 Ⅰ 已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；
 Ⅱ 根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为 ，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

20. 如图，已知椭圆C： 的离心率是 ，一个顶点是 ．
 Ⅰ 求椭圆C的方程；
 Ⅱ 设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且 试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

21. 已知函数 ．
 Ⅰ 当 时，求函数 的单调区间和极值；
 Ⅱ 若 在 上是单调增函数，求实数a的取值范围．

22. 已知直线l的参数方程为 为参数 ，曲线C的极坐标方程为 ，直线l与曲线C交于A，B两点，点 ，
 求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
 求 的值．

23. 已知函数 ．
 当 时，解不等式 ；
 若存在 满足 ，求实数a的取值范围．

 
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B
9. D 10. A 11. C 12. B 
13.   
14. 15 
15.   
16.   
17.  本题满分为12分 
解： ， ， ，
 ，
 在 中，由正弦定理 ，
 可得 ，可得： ，即： ，
 解得： 分
 Ⅱ 在 中，由余弦定理 ，可得 ，
故 分 
18.  证明：连接 ，
 侧面 为菱形，
 ，
又 与 相互垂直， ，
 平面 ，
 ，又 ， ，
 平面 ，
 平面 ， 直线 直线 ；
 解：由 知，平面 平面 ，由 作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，
 ，得D为AB的中点，
过A作 的平行线，交 于E点，则 平面ABC，
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 为平面 的一个法向量，
则 0， ， 2， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，取 ，得 ，
 ，
故二面角 的余弦值为 ． 
19. 解： Ⅰ 由题意： ，
估计这200名选手的成绩平均数为 ．
 Ⅱ 由题意知， X   B 3 ， 1 3  ，X可能取值为0，1，2，3，
 ，
所以X的分布列为  ：
                           
X的数学期望为  ．
 
20.  本小题满分14分
 Ⅰ 解：设椭圆C的半焦距为 依题意，得 ， 分
且  ， 分
解得  分
所以，椭圆C的方程是 分
 Ⅱ 证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为 分
将直线PQ的方程代入 ，
消去y，整理得  分
设  ， ，
则  ， 分
因为  ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以  ，整理得  分
因为  ， ，
所以  ，
将 代入 ，整理得 分
将 代入 ，整理得  分
解得  ，或 舍去 ．
所以，直线PQ恒过定点 分
证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为 分
将直线BP的方程代入 ，消去y，得  分
解得  ，或 分
设  ，所以 ， ，
所以  分
以 替换点P坐标中的k，可得  分
从而，直线PQ的方程是  ．
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上 分
在上述方程中，令 ，解得 ．
所以，直线PQ恒过定点 分  
21. 解： Ⅰ 函数 ， 函数 的定义域为 ．
当 时， ．
当x变化时， 和 的值的变化情况如下表：
x   1 
    0 
  递减 极小值 递增
由上表可知，函数 的单调递减区间是 、单调递增区间是 、极小值是 ．
 Ⅱ 由 ，得 ．
若函数 为 上的单调增函数，则 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立．
也即 在 上恒成立．
令 ，则 ．
当 时， ，
 在 上为减函数， ．
 ．
 的取值范围为 ． 
22. 【解答】
解： 直线l的参数方程为 为参数 ，消去参数，可得直线l的普通方程 ，
曲线C的极坐标方程为 ，即 ，曲线C的直角坐标方程为 ，
 直线的参数方程改写为 ，
代入 ， ， ， ，
 ． 
23. 解： 当 时， ，
 当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ；
 当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ；
 当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ．
综上所述，原不等式的解集为 或 ．
 由 ，即 ，
得 ，
又 ，
 ，即 ，
解得 ．