2018年北京市中考数学试卷含答案解析(2)

北京市2018年中考数学试卷
考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列几何体中，是圆柱的为
A．   B．  C．   D．
【答案】A
【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．
【考点】立体图形的认识

2．实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
 
A．    B．   C．    D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，故A选项错误；
数轴上表示 的点在表示 的点的左侧，故B选项正确；
∵ ， ，∴ ，故Ｃ选项错误；
∵ ， ， ，∴ ，故D选项错误．
【考点】实数与数轴

3．方程组 的解为
A．    B．   C．    D．
【答案】D
【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．
【考点】二元一次方程组的解

4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 ，则FAST的反射面积总面积约为
A．   B．  C．    D．
【答案】C
【解析】 （ ），故选C．
【考点】科学记数法

5．若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的内角和为
A．     B．    C．     D．
【答案】C
【解析】由题意，正多边形的边数为 ，其内角和为 ．
【考点】正多边形，多边形的内外角和．

6．如果 ，那么代数式 的值为
A．     B．    C．     D．
【答案】A
【解析】原式 ，∵ ，∴原式 ．
【考点】分式化简求值，整体代入．

7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ）．下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
 
A．     B．    C．     D．
【答案】B
【解析】设对称轴为 ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
∴ ，故选B．
【考点】抛物线的对称轴．

8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐标为（5， ）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐标为（10， ）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐标为（ ， ）；
④当表示天安门的点的坐标为（ ， ），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐标为（ ， ）．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②③   B．②③④  C．①④    D．①②③④
【答案】D
【解析】显然①②正确；
③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；
④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐标为（ ， ）”的基础上，将所有点向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，故④正确．
【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．右图所示的网格是正方形网格， ________ ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】如下图所示，
 
 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ．
另：此题也可直接测量得到结果．
【考点】等腰直角三角形

10．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】被开方数为非负数，故 ．
【考点】二次根式有意义的条件．

11．用一组 ， ， 的值说明命题“若 ，则 ”是错误的，这组值可以是 _____， ______， _______．
【答案】答案不唯一，满足 ， 即可，例如：， ，
【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【考点】不等式的基本性质

12．如图，点 ， ， ， 在 上， ， ， ，则 ________．
 
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理

13．如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，则 的长为________．
 
【答案】
【解析】∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
在 中， ，∴ ，
∵ 是 中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定

14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路 
 
合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
【答案】C
【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．
【考点】用频率估计概率

15．某公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船
（限乘两人） 四人船
（限乘四人） 六人船
（限乘六人） 八人船
（限乘八人）
每船租金
（元/小时） 90 100 130 150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．
【答案】
【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为 （元）
【考点】统筹规划

16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．
 
【答案】
【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．
 
【考点】函数图象获取信息

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点 ．
 
求作： ，使得 ．
作法：如图，
 
①在直线上取一点 ，作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点 ；
②在直线上取一点 （不与点 重合），作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点 ；
③作直线 ．
所以直线 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ _______， _______，
∴ （____________）（填推理的依据）．
【解析】（1）尺规作图如下图所示：
 
（2） ， ，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【考点】尺规作图，三角形中位线定理

18．计算： ．
【解析】解：原式 ．
【考点】实数的运算

19．解不等式组： ．
【解析】解：由①得， ，
由②得， ，
∴不等式的解集为 ．
【考点】一元一次不等式组的解法

20．关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 ， 的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得： ．
【考点】一元二次方程

21．如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
 
【解析】（1）证明：∵
∴ 
∴四边形 是平行四边形
又∵
∴ 是菱形
（2）解：∵四边形 是菱形，对角线 、 交于点 ．
∴ ． ， ，
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ． 为 中点．
∴ ．
【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线

22．如图， 是 的直径，过 外一点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ， ， ，求 的长．
 
【解析】（1）证明：∵ 、 与 相切于 、 ．
∴ ， 平分 ．
在等腰 中， ， 平分 ．
∴ 于 ，即 ．
（2）解：连接 、 ．
∵
∴
∴
同理：
∴ ．
在等腰 中， ．
∴ ．
∵ 与 相切于 ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数

23．在平面直角坐标系 中，函数 （ ）的图象 经过点 （4，1），直线 与图象 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 在点 ， 之间的部分与线段 ， ， 围成的区域（不含边界）为 ．
①当 时，直接写出区域 内的整点个数；
②若区域 内恰有4个整点，结合函数图象，求 的取值范围．
【解析】（1）解：∵点 （4，1）在 （ ）的图象上．
∴ ，
∴ ．
（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．
②  ．当直线过（4，0）时： ，解得
 ．当直线过（5，0）时： ，解得
 
 ．当直线过（1，2）时： ，解得
 ．当直线过（1，3）时： ，解得
 
∴综上所述： 或 ．
【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题

24．如图， 是 与弦 所围成的图形的内部的一定点， 是弦 上一动点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．已知 ，设 ， 两点间的距离为  ， ， 两点间的距离为 ， ， 两点间的距离为 ．
 
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 ， 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 ， 与 的几组对应值；
 
0 1 2 3 4 5 6
 

（2）在同一平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ ， ），（ ， ），并画出函数 ， 的图象；
 
（3）结合函数图象，解决问题：当 为等腰三角形时， 的长度约为____ ．
【解析】（1）
（2）如下图所示：
 
（3） 或 或 ．
如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．
 
【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究

25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
 ．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ， ， ， ， ， ）；
 
 ．A课程成绩在 这一组是：
70  71  71  71  76  76  77  78        79  79  79  
 ．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A 
 
 

B 
70 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过 分的人数．
【解析】（1）
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过 的人数为36人．
∴ （人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过 的人数为180人．
【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体

26．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，抛物线 经过点 ，将点 向右平移5个单位长度，得到点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【解析】（1）解：∵直线 与 轴、 轴交于 、 ．
∴ （ ，0）， （0，4）
∴ （5，4）
（2）解：抛物线 过 （ ， ）
∴ ．
 
∴
∴对称轴为 ．
（3）解：①当抛物线过点 时．
 
 ，解得 ．
②当抛物线过点 时．
 
 ，解得 ．
③当抛物线顶点在 上时．
 
此时顶点为（1，4）
∴ ，解得 ．
∴综上所述 或 或 ．
【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题

27．如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 ， 重合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
 
【解析】（1）证明：连接 ．
∵ ， 关于 对称．
∴ ． ．
在 和 中．
∴ ．
∵四边形 是正方形
∴
在 和 ．
 
∴ ≌
∴ ．
（2） ．
证明：在 上取点 使得 ，连接 ．
∵四这形 是正方形．
∴ ． ．
∵ ≌
∴
同理：
∴ 
在 和 中
 
∴ ≌
∴
在 中， ， ．
∴
∴ ．
【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定

28．对于平面直角坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 ， 间的“闭距离”，记作 （ ， ）．
已知点 （ ，6）， （ ， ）， （6， ）．
（1）求 （点 ， ）；
（2）记函数 （ ， ）的图象为图形 ，若 （ ， ） ，直接写出 的取值范围；
（3） 的圆心为 （，0），半径为1．若 （ ， ） ，直接写出的取值范围．
【解析】（1）如下图所示：
 
∵ （ ， ）， （6， ）
∴ （0， ）
∴ （ ， ）
（2） 或
 
 
（3） 或 或 ．
 
【考点】点到直线的距离，圆的切线