江苏盐城市2017-2018高二数学下学期期末试题（含答案）

2017/2018学年度第二学期高二年级期终考试
数 学 试 题

注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知复数 ( 为虚数单位)，则    ▲   ．
2．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取   ▲   人.
3．命题“ 使得 ”是   ▲   命题. （选填“真”或“假”）
4．从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为  ▲  ．
5．设双曲线  的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，若 为线段  的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为   ▲   ．
6．执行如图所示的伪代码，最后输出的 值为   ▲   ．

 
                                   （第6题图）

7．若变量 ， 满足约束条件  则 的最大值为   ▲   ．
8．若函数 为偶函数，则 的值为   ▲   ．
9．(理科学生做)若 展开式中的常数项为 ，则实数 的值为   ▲   ．
(文科学生做) 函数 的值域为   ▲   ．
10．(理科学生做)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为  ▲  种．（用数字作答）
(文科学生做) 若 ， ，则     ▲   ．
11．已知对任意正实数 ， ， ， 都有 ，类比可得对任意正实数 ， ， ， ， ， 都有       ▲        ．
12．若函数 在 和 时取极小值，则实数 的取值范围
是    ▲    ．
13．若方程 有实根，则实数 的取值范围是   ▲   ．
14．若 ，且 ，则 的最大值为   ▲   ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量 ,其概率分布如下表，数学期望 .
（1）求 和 的值；
（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分 大于0的次数为 ，求 的概率分布与数学期望.
X 0 3 6
 
 
 
 

（文科学生做）已知集合 ， ， .
（1）求  ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.

 
16．(本小题满分14分)
（理科学生做）如图，在正四棱柱 中， ， ，点 是 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
                
（第16题理科图）                   （第16题文科图）
（文科学生做）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的值；
（2）设函数 ，求 在 上的单调递减区间.

17．(本小题满分14分)
（理科学生做）已知数列 满足 ， （ ）．
（1）求 ， ，并猜想 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．
（文科学生做）已知数列 满足 .
（1）求 ， ， 的值，猜想并证明 的单调性；
（2）请用反证法证明数列 中任意三项都不能构成等差数列．

18．(本小题满分16分)
直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，直线 与椭圆 相交于 两点，且线段 被直线 平分.
①求直线 的斜率；
②若 ，求直线 的方程.
19． (本小题满分16分)
如图是一个路灯的平面设计示意图，其中曲线段 可视为抛物线的一部分，坐标原点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为 轴，灯杆 可视为线段，其所在直线与曲线 所在的抛物线相切于点 .已知 分米，直线 轴，点 到直线 的距离为8分米.灯杆 部分的造价为10元/分米；若顶点 到直线 的距离为t分米，则曲线段 部分的造价为 元. 设直线 的倾斜角为，以上两部分的总造价为S元.
（1）①求t关于的函数关系式；
②求S关于的函数关系式；
（2）求总造价S的最小值.
        

20．(本小题满分16分)
设函数 的导函数为 .若不等式 对任意实数 恒成立，则称函数 是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数 与 都是“超导函数”，且其中一个在 上单调递增，另一个在 上单调递减，求证：函数 是“超导函数”；
（3）若函数 是“超导函数”且方程 无实根， （ 为自然对数的底数），判断方程 的实数根的个数并说明理由.

2017-2018学年度第二学期高二年级期终考试数学试题
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1.       2.      3. 真        4.   
5.       6.      7.           8.     
9. （理）  （文）         10. （理）  （文）   
11.     12.         13.              14. 

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(理科)解：(1)因为 ，所以 ，
即 ．①                      …………………………………………………………………2分
又 ，得 ．②         …………………………………………………………………4分
联立①，②解得 ， ．          …………………………………………………………………6分
(2) ，依题意知 ，
故 ， ，
 ， ．                   …………………………………………………………………10分
故 的概率分布为
 
 
 
 
 

 的数学期望为 ．……………………………………………………14分
(文科)解：(1) ,   …………………………………………………2分
 ．              …………………………………………………4分
则                             …………………………………………………6分
(2) ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 且 ．                  ……………………………………………………10分
由 ，得 ，解得 ．   ……………………………………………………12分
经检验，当 时， 成立，
故实数 的取值范围是 ．                   ……………………………………………………14分
16．(理科)解：在正四棱柱 中，以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系 ．
 
因为 ， ， ，
所以 ， ，         ……………………………………………………………2分
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．   ……………………………………………………6分
(2) ，设平面 的一个法向量为 ．
则 ，得 ，取 ，得 ， ，
故平面 的一个法向量为 ．                   ………………………………………10分
于是 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．       ………………………………………………14分
(文科)解：(1)由图形易得 ，
 ，解得 ，         …………………………………………………………………2分
此时 ．
因为 的图象过 ，
所以 ，得 ．       …………………………………………………………………4分
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ．
综上 ， ， ．                  …………………………………………………………6分
 (2)由(1)得   ．……10分
由 ，解得 ，其中 ．
取 ，得 ，
所以 在 上的单调递减区间为 ．……………………………………………………14分
17（理科）（1） ，猜想 .          ………………………………………………6分
（2）当 时，命题成立；                          ………………………………………………8分
假设当 时命题成立，即 ，       ………………………………………………10分
故当 时， ，
故 时猜想也成立.                            ………………………………………………12分
综上所述，猜想成立，即 .                    ………………………………………………14分

（文科）（1）计算得 ，猜想该数列为单调递减数列. ………………………2分
下面给出证明： ，
因为 ，故 ，所以 恒成立，即数列为单调递减数列. ………………………6分
（2）假设 中存在三项成等差数列，不妨设为  这三项，………………………8分
由（1）证得数列 为单调递减数列，则 ，即 ，
两边同时乘以 ，则等式可以化为 ，（※） ……………12分
因为 ，所以 均为正整数，故 与 为偶数，
而 为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，
所以假设不成立，故数列 中任意三项都不能构成等差数列．             ………………………14分
18．（1）由 可得 ，                                         ………………………2分
设椭圆方程为 ，代入点 ，得 ，
故椭圆方程为： .                                            ………………………4分
（2）①由条件知 ，
设 ，则满足 ， ，
两式作差得： ，                                    ………………………6分
化简得 ，
因为 被 平分，故 ，
所以 ，即直线 的斜率 .                             ………………………10分
②设直线 为 ，代入椭圆方程 可得 ，（＃）
所以 ， ，
 ，
 ，         ………………………12分
故
              ………………………14分
解得 ，此时方程（＃）中 ，
故所求直线方程为 .                                        ………………………16分
19.解：（1）①设曲线段 所在的抛物线的方程为 ，将 代入 得 ，故抛物线的方程为 ，求导得 ，故切线 的斜率为 ，而直线 的倾斜角为，故 ，t关于的函数关系为 .………………………………2分
②因为 ，所以曲线段 部分的造价为 元，
因为点 到直线 的距离为8分米，直线 的倾斜角为，故 ， 部分的造价为 ，
得两部分的总造价为 ， .               ………………………………6分
（2） ，  …………………8分
 ，
其中 恒成立，令 得 ，设 且 为锐角，…………10分
列表如下：
 
 
 
 

 
 
0 

 
 
极小 

…………………………………12分
故当 时 有最小值，此时 ， ， ，                              …………………………………14分
故总造价S的最小值为 元.                                   ……………………………16分
20.解：（1）举例：函数 是“超导函数”，
因为 ， ，满足 对任意实数 恒成立，故 是“超导函数”. ……4分
注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.
（2）∵ ，∴ ，
∴
     ……………………………………………………………6分
因为函数 与 都是“超导函数”，所以不等式 与 对任意实数 都恒成立，故 ， ，①        ………………………………………………………8分
而 与 一个在 上单调递增，另一个在 上单调递减，故 ，②
由①②得 对任意实数 都恒成立，所以函数 是“超导函数”.  ……10分
（3）∵ ，所以方程 可化为 ，
设函数 ， ，则原方程即为 ，③   ……………………………12分
因为 是“超导函数”， ∴ 对任意实数 恒成立，
而方程 无实根，故 恒成立，所以 在 上单调递减，
故方程③等价于 ，即 ，                    ……………………………14分
设  ， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
而 ， ，且函数 的图象在 上连续不断，
故  在 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.
……………………………16分
注：发现 但缺少论证过程的扣4分.