江苏南京六校2017-2018高二数学理科下学期期末试题（附答案）

南京市六校联合体高二期末试卷
           数学（理科）        2018.6
参考公式：方差
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．设 为虚数单位，复数 ，则 的模    ▲   .
2．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 ▲   .
3．命题“若 ，则复数 为纯虚数”的逆命题是  ▲  命题.（填“真”或“假”）
4．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为   ▲   .
5．将一颗骰子抛掷两次，用 表示向上点数之和，则 的概率为   ▲   .
6．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为   ▲   .
7．函数 在点 处切线方程为 ，则 =   ▲   .
8．若 的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是   ▲   .
9．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为   ▲   .
10．若 ，
则 =   ▲   .
11．已知 ∈R，设命题P： ；
命题Q：函数 只有一个零点.
则使“P Q”为假命题的实数 的取值范围为   ▲   .
12．有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有   ▲   种不同的选法.

13．观察下列等式：

请你归纳出一般性结论   ▲   .
14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是 ,甲赢得比赛的概率是 ,则 的最大值为   ▲   .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，以 为极点， 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 ( 为参数)．求直线 被曲线 截得的弦长.

16.（本小题满分14分）
在棱长为 的正方体 中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.

17.（本小题满分14分）
已知 ，
（1）求 的值;
（2）若 且 ，求 的值;
（3）求证： .

18.（本小题满分16分）
某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量 表示该游戏者所得分数.
（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;
（2）求随机变量 的分布列和数学期望．

19.（本小题满分16分）
已知函数
（1）若 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围;
（2）若 在 处有极值10，求 的值;
（3）若对任意的 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.

20.（本小题满分16分）
把圆分成 个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有 种方法.
(1)写出 ， 的值；
(2)猜想  ，并用数学归纳法证明。

南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）参考答案
一、填空题
1.       2. .      3. 真       4.      5.       6.        7.   
8.      9.       10.      11.        12.
13.     14.
二、解答题
15.曲线 的直角坐标方程是 …………4分
    直线 的普通方程是 …………………8分
圆心 到直线 的距离 ……………………11分
弦长为 …………………………………………14分
16.解(1以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则A(1，0，0)， ， ，D1(0，0，1)，
E ，
于是 ， .
由cos ＝ ＝ .
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为 .              ………6分
（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m• ＝0，m• ＝0
得   取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .     ………8分
由D1E＝λEO，则E ， = .10分
又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n• ＝0，n• ＝0.
得   取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .12分
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m•n＝0，得λ＝2．           ……14分
17（1）令 ，则 =0，又
     所以 ………………………………………………………………4分
（2）由 ，解得 ，所以  ………………9分
（3）
 
………………………………………………………………14分
18．⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为 、 、 ，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件 ．
则 ；
答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为 ………………………………6分
(2)由题意可知， 的可能取值为 、 、 、 、 ，
 ，  ，
 ，
 ， 
  ，
所以 的分布列为
 
 
 
 
 
 

………………………………………………14分
所以 的数学期望 …………………16分
19解：(1) f＇(x)=3x2+2mx，由f(x)在区间[1，+∞)上是单调递增函数得，
当x≥1时，3x2+2mx≥0恒成立，即m≥－32x恒成立，
解得m≥－32；………………………………4分
   （2） ，由题 或
        当 时， ， 无极值，舍去.
       所以 …………………………8分（没有舍扣2分）
（3）由对任意的x1，x2∈[－1，1]，有| f(x1)－f(x2)|≤2恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤2．
且| f(1)－f(0)|≤2，| f(－1)－f(0)|≤2，解得m∈[－1，1]，…………10分
①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，
fmax(x)－fmin(x)= | f(1)－f(－1)|≤2成立．……………………………11分
②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－23m，0)，则f(x)在(－23m，0)上单调递减；
同理f(x)在(－1，－23m)，(0，1)上单调递增，
f(－23m)= 427m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，
令h(m)=f(－23m)－f(1)= 427m3－m－1，m∈[0，1]，
h＇(m)= 49m2－1＜0，则h(m)在(0，1] 上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，
故f(－23m)＜f(1)，又f(－1)= m－1+m2≤m2=f(0)，仅当m=1时取等号.
所以fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立．
③同理当m∈[－1 ，0)时，fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立．
综上得m∈[－1 ，1]．…………………………16分
20.解：（1） …………2+4=6分
（2）．当 时，首先，对于第1个扇形 ，有4种不同的染法，由于第2个扇形 的颜色与 的颜色不同，所以，对于 有3种不同的染法，类似地，对扇形 ，…， 均有3种染法．对于扇形 ，用与 不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形 颜色相同的情况，而扇形 与扇形 颜色相同的不同染色方法数就是 ，于是可得
 …………………………10分
猜想 …………………………12分
① 当 时，左边 ，右边 ，所以等式成立
② 假设 时， ，
则 时， 
即 时，等式也成立
综上  …………………………16分