江西南昌六校2017-2018高二数学下学期期末联考试卷（理科附答案）

2017~2018学年度第二学期期末高二理科数学联考试卷
     2018-6-18
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。)
1．若回归直线的斜率 ，则相关系数的取值范围为（   ）
A.     B.      C. 0    D. 无法确定
2．已知非零实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是
A.      B.      C.      D. 
3．已知随机变量 ，若 ，则实数 （    ）
A. 0    B. 1    C. 2    D. 4
4．已知   ，则 （    ）
A. 18       B. 24        C. 36       D. 56
5．三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（    ）
A.       B.      C.       D. 
6．以下四个命题中：
①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近 ；
②若数据 的方差为 ,则 的方差为 ；
③对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说,  越小,判断“ 与 有关系”的把握程度越大.
其中真命题的个数为（  ）
A.      B.      C.      D. 
7．如右图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ）
A．  B．         C．           D．

8．将编号为1,2,3,4的四个小球放入A,B,C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为（     ）
A. 24        B. 30       C. 48       D. 72

9．若离散型随机变量 的分布列为 ，则 的值为（   ）
A.      B.      C.      D. 
10．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点， ，则异面直线 与 所成的角的大小为（     ）
A.        B.         C.         D. 
11．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是 ，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（   ）
 
 
12.用五种不同的颜色给图中 六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法（   ）
A.  种    B.  种    C.  种    D.  种
          第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某公司安排6位员工在元旦假期（1月1日至1月3日）值班，每天安排2人，每人值班一天，则6位员工中甲不在1月1日值班的概率为__________;
14．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为__________;
15． 展开式中二项式系数和为32，则 展开式中 的系数为_________;
16．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：
①P（B）= ；②P（B|A1）= ；③事件B与事件A1不相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为      ．（把正确结论的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展，以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
 
（1）请根据散点图判断， 与 中哪一个更适宜作为年销售量 关于年份代码 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程，并预测2018年我国新能源乘用车的销售量（精确到0.1）
附：最小二乘估计公式： .
参考数据：
      
22.72 374 135.2 851.2
其中

18.（本小题满分12分）如图，在 中,已知 ， 在 上，且 ，又 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．

19．（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．
（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为 ，求 的期望 ．
附：

20．（本小题满分12分）如图甲所示，  是梯形 的高，  ，  ，  ，现将梯形 沿 折起如图乙所示的四棱锥 ，使得 ，点 是线段 上一动点.
（1）证明：  和 不可能垂直；
（2）当 时，求 与平面 所成角的正弦值.

21．（本小题满分12分）某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下关系：
年入流量      
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

22．（本小题满分10分）已知函数
（1）当 时，解不等式
（2）若对任意 都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
 
高二数学（理）参考答案
1．B           2．A            3．C             4．B            5．A            6．B
7．C           8．B            9．A             10．C           11．B           12．D
13．                14．8π              15．               16．②③④
17.
 
 
18. (Ⅰ)证明：设OA=1,则PO=OB=2,DA=1,
由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO.从而DO=  ,PD=  ，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO.
又∵OC=OB=2,∠ABC=45∘，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB.
故CO⊥PD.
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD.          ………………6分
(Ⅱ)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图。
则由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,−1,1)，
∴ =(0,−1,−1),  =(2,−2,0),  =(0,−3,1)，
由(Ⅰ)知PD⊥平面COD,∴ 是平面DCO的一个法向量，
设平面BDC的法向量为 =(x,y,z),∴ • =0 • =0,∴2x−2y =0−3y+z=0，
令y=1,则x=1,z=3,∴ =(1,1,3)，
∴cos< , ＞
由图可知：二面角B−DC−O为锐角,二面角B−DC−O的余弦值为 ………………12分
19.（1）由题意可得列联表：
 物理优秀 物理不优秀 总计
数学优秀 60 140 160
数学不优秀 100 500 640
总计 200 600 800
因为K2= =16.667>10.828．           …（8分）
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．
（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．
将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为 ．由题意可知X～B（3， ），从而E（X）=np=  ．          …（12分）
20. 【答案】（1）详见解析; （2） .
【解析】试题分析：由于折叠后 ，经过计算知 ，这样 两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标．
（1）否定性命题，可假设 ，同时设 （ ），利用向量垂直计算出 ，如果满足 说明存在，如果不满足 说明不存在；
（2）由 得 点坐标，从而可求出平面 的法向量 ，则向量 与 夹角的余弦的绝对值等于直线 与平面 所成角的正弦值．
解析：如图甲所示，因为 是梯形 的高， ，所以 ,因为 ， ，可得 ， ,如图乙所示， ，  ， ，所以有 ，所以 ,而 ， ，所以 平面 ,又 ，所以 、 、 两两垂直．故以 为原点，建立空间直角坐标系（如图），则 ， ， ,
（1）设 其中 ，所以  ， ，假设 和 垂直，则 ，有 ，解得 ，这与 矛盾，假设不成立，所以 和 不可能垂直.……………………6分
（2）因为 ，所以  ,设平面 的一个法向量是 ，因为 ， ，所以 ， ，即 ,取 ,而 ，所以 ,所以 与平面 所成角的正弦值为 .……………………12分
21. 【答案】（1） （2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机
【解析】试题分析：
(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3；
(2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机．
试题解析：（1）依题意， ，   
由二项分布可知， .                                    
 , ,
 , ,  
所以的分布列为
  0 1 2 3
  0.729 0.243 0.027 0.001
      .        ……………………6分
（2）记水电站的总利润为 （单位：万元），
①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年
利润 ， ；    
②若安装2台发电机，
当 时，只一台发电机运行，此时 ， ，                                          
当 时，2台发电机运行，此时 ， ，
 .    
③若安装3台发电机，
当 时，1台发电机运行，此时 ， ，
当 时，2台发电机运行，此时 ， ，
当 时，3台发电机运行，此时 ， ，
     
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.  ……………………12分
22.