2017-2018高二数学下学期期末联考试卷（文科含答案福建福州八县一中）

2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期末联考
  高中二年数学文科试卷
            命    题：长乐一中  胡丽梅   复 核：吴小妹
完卷时间：120分钟            满 分：150分

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。
1、若全集 ，集合 ， ，则 为（  ）
A.      B.      C.      D. 
2、函数 的定义域是（　　）
A．[﹣2，2]    B．[﹣2，0）∪（0，2]  C．（﹣1，2]    D．（﹣1，0）∪（0，2]
3、下列函数在 上为减函数的是（      ）
   A.        B.      C.       D.  
4、设 ，则 是“ ”为偶函数的 （    ）
A. 充分而不必要条件              B. 必要不充分条件   
C. 充要条件                      D. 既不充分也不必要条件
5、已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时，
 ，则 等于
A．-1          B.           C．           D．1

6．函数y= sin2x的图象可能是   (      )
A．    B．   C．  D．
7、已知函数 的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是 ，则 的值等于（　　）
A．3        B.            C．1          D．0
8、已知 ，且 ，则 的最小值为(   )．
A.             B.  4           C.              D.   3
9、已知 是定义在 上的偶函数，且 ，
记 ，则 的大小关系为
A．      B．      C．      D．
10、已知 ，则 =（　　）
A．         B．         C．          D．
11、设 ：  ，  ：  ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（    ）
A.         B.             C.      D. 
12、已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，  ，则不等式 的解集是（   ）
A.        B.             C.          D. 
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）
13、若 则 =　        　;
14、函数 ，若实数 满足 ，则实数 =　        　;
15、已知 ， ，则 的值为              ;
16、已知 ，关于 的方程  ( )有四个不同的实数根，则 的取值范围为              .
三：解答题（17-21题各12分，22题10分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（12分）已知命题p：∀x∈R， .
（Ⅰ）若p为真命题，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）命题q：∃x∈[2，16]， ，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．

18、（12分）设函数 的导数 满足 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 在区间[-2，2]上的最大值为20，求c的值．
（III）若函数 的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
 

19、（12分）已知 为锐角， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．

20、（12分）科技改变生产力，人工智能在各行各业中的应用越来越广泛，某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）= +x+150万元．
（Ⅰ）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（Ⅱ）现按（I）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量
q（m）= （单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

21、（12分）已知函数f（x）=2ex+2ax-a2，a∈R．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若x≥0时， 恒成立，求实数a的取值范围．

22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 过点M（1，0），倾斜角为 ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′，且直线 与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．

2017—2018学年度第二学期八县（市）一中期末联考
高中二年数学科（文科）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B C C D A A A C D B
一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）
二、填空题：（每题 5分，共20分）
13、  12     14 、        15 、      16 、
三、解答题：（本大题共6小题70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（评分说明：①对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；②如果解题出现其他解法，请斟酌给相应的分数。）
17.解: （I）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，由于t=0不符合条件舍去，
∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得
∴p为真命题时， ．…（6分） (备注：未讨论t=0扣1分)
（II）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]， 有解．
又x∈[2，16]时， ，∴t≥﹣1．…（8分）
∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，
当p假q真，有 解得 ；当p真q假，有 解得t＜﹣1；
∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或 ．……………12分
18、解：（I）函数的导数f′（x）=-3x2+2ax+b，
∵f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9，
∴ 得a=3，b=9，                   …………………3分
（II）由（I）得f（x）=-x3+3x2+9x+c，f′（x）=-3x2+6x+9=-3（x2-2x-3），
由f′（x）＞0得-3（x2-2x-3）＞0得x2-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
此时函数单调递增，即递增区间为（-1，3），
由f′（x）＜0得-3（x2-2x-3）＜0得x2-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
此时函数单调递减，即递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）；………………6分
所以当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
f（-2）=8+12-18+c=2+c，f（2）=-8+12+18+c=22+c，
则f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（2）=22+c=20，则c=-2．   ………………8分
（III）由（I）知当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
当x=3时，函数取得极大值f（3）=-27+27+27+c=27+c，
若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，
则 得 ，得-27＜c＜5，
即c的范围是（-27，5）．                   ………………12分

19.解：（I）因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
因此， ．
（II）因为 为锐角，所以 ．
又因为 ，所以 ，
因此 ．
因为 ，所以 ，
因此， ．……12分

20.解：（I）由总成本p（x）= +x+150万元，可得每台机器人的平均成本
y=  =2．
当且仅当 ，即x=300时，上式等号成立．
∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；…………………6分
（也可以利用导数求解）
（II）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）= ，
当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，
∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．
当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．
若传统人工分拣144000件，则需要人数为 人．
∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少
 =75%．                         …………12分

21.解：（I）∵f′（x）=2ex+2a，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
当a＜0时，当f′（x）＞0，即x＞ln（-a）时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＜ln（-a）时，函数单调递减，
综上所述：当a≥0时，f（x）在R上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（-∞，-ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增，
………………6分
（II）令g（x）=f（x）-x2+3=2ex-（x-a）2+3，x≥0，
∴g′（x）=2（ex-x+a），
再令h（x）=2（ex-x+a）,则 ,当 时，
∴h（x）在[0，+∞）单调递增，且h（0）=2（a+1），
当a≥-1时，g′（x）≥0，即函数g（x）在[0，+∞）单调递增，
从而须满足g（0）=5-a2≥0，
解得- ≤a≤ ，又a≥-1，∴-1≤a≤ ，
当a＜-1时，则∃x0＞0，使h（x0）=0，且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，
即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，
x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，
g（x）min=g（x0）= -（x0-a）2+3≥0，
又h（x0）=2（ -x0-a）=0，
从而 =x0-a，即a=x0- ，
令M（x）=x-ex，0＜x≤ln3，
∴M′（x）=1-ex＜0，  ∴M（x）在（0，ln3]上单调递减，
则M（x）≥M（ln3）=ln3-3，又M（x）＜M（0）=1， ∴ln3-3≤a＜-1，
综上所述ln3-3≤a≤                         ………………12分

22、解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2-4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x+3y2=0，整理，得（x-2）2+4y2=4，
∵直线l过点M（1，0），倾斜角为 ，
∴直线l的参数方程为 ，即 ，（t是参数）．……….5分
（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′，
∴曲线C′为：（x-2）2+y2=4，
把直线l的参数方程 ，（t是参数）代入曲线C′：（x-2）2+y2=4，得：
 ，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2= ，t1t2=-3，
∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= = = ．  …………10分
（备注：也可以用直线与圆的相交弦解决即用垂径定理求弦长）