湖北宜昌一中2017-2018高二下学期数学期末试题（理科附答案）

宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试
理科数学
考试时间：120分钟  满分：150分
命题人：王健     审题人：孙红波
[来源:Zxxk.Com]
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后 ，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设 ， ，集合 （    ）
A．   B．    C．   D．
2．已知 为虚数单位，则复数 对应复平面上的点在第（    ）象限．
A．一   B． 二            C．三     D．四
3．设 ，则“ ”是“ ”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分又不必要条件
4．已知 ， ， （    ）
A．   B．   C．      D．
5．若将函数 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（    ）
A．    B．    C．            D．
6．函数 的图象大致为(     )
 
7．已知函数 满足 ，当 时， ，若在区间 上方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是(     )
A．       B．       C．       D．
8．若角 为三角形的一个内角，并且 ，则 （    ）
A．             B．               C．              D．
9．已知定义域为 的奇函数 ，当 时，满足 ，
则 （    ）
A．   B．         C．            D． 
10．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（   ）米．
 A．75         
B．85        
C．100   
D．110

11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ,且满足 , , 中的每一个元素都小于 中的每一个元素,则称 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割 ,下列选项中,不可能成立的是(    )
A．  没有最大元素,  有一个最小元素    B． 没有最大元素,  也没有最小元素
C． 有一个最大元素,  有一个最小元素  D． 有一个最大元素,  没有最小元素
12．已知关于 的方程为 （其中 ），则此方程实根的个数为（    ）
A．2   B．2或3    C．3   D．3或4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知角 的终边经过 ，则 ________．
14．满足不等式组 的点 所围成的平面图形的面积为________．
15．学校艺术节对同一 类的 A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“ A作品获得一等奖”； 乙说：“C作品获得一等奖”
丙说：“B, D两 项作品未获得一等奖” 丁说：“是A或D作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
16．对于定义域为 的函数 ，若满足①  ；② 当 ，且 时，都有 ；③ 当 ，且 时，都有 ，则称 为“偏对称函数”．现给出四个函数：① ；②  ；      ③ ；④ .则其中是“偏对称函数”的函数序号为 __ ____．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）

（一）必考题：共60分。

17．（本题满分12分）
已知集合
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若命题 命题 且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．

18．（本题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 的对称中心和单调递增区间．

19．（本题满分12分）
统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数为
  ．
（1）当 千米/小时时,行驶 千米耗油量多少升？
（2）若油箱有 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？

20．（本题满分12分）
如图，已知单位圆上有四点 ， ， ， ，其中 ，分别设 的面积为 .
（1）用 表示 ；
（2）求 的 最大值及取最大值时 的值。

21．（本题满分12分）
已知函数 ．
（1）若 在 为增函数，求实数 的取值范围；
（2）当 时，函数 在 的最小值为 ，求 的值域．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），以原点 为极点， 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 是曲线 上一点，若点 到曲线 的最小距离为 ，求 的值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，求 的最小值．
 
宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试
理科数学参考答案
考试时间：120分钟  满分：150分
命题人：王健     审题人：孙红波
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B C A B D A D B C C[来源:学*科*网Z*X*X*K]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．         14．          15． C         16．②③
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
17．【解析】
(1) 当 时 
当 时 显然 故 时， …………6分
（2）    
当 时，  则 解得 [来源:学|科|网]
当 时， 则
综上 是 的充分不必要条件，实数 的取值范围是 或 …………12分

18．【解析】（1）∵  
            …………3分
 ．     …………5分
∴ ．       …………6分
（2）令 得： ， [来源:学科网]
所以对称中心为： ，         …………9分
  令
解得单调递增区间为： ， ………… 12分
19．【解析】 (1)当 千米/小时时,要行驶 千米需要 小时，
要耗油  (升) ．
(2)设 升油能使该型号汽车行驶 千米,由题意得，
 ，所以  ，
设
则当 最小时， 取最大值， 令
当 时， ，当 时，
故当 时，函数 为减函数， 当 时，函数 为增函数，
所以当 时，  取得最小值，此时 取最大值为
所以若油箱有 升油,则该型号汽车最多行驶 千米．
20．【解析】解析：（1）根据三角函数的定义，知
所以 ，所以 .
又因为 四边形OABC的面积＝ ，
所以 .                        ………… 6分
（2）由（1）知 .
因为 ，所以 ， 所 以 ，
所以 的最大值为 ，此时 的值为 .         ………… 12分
21．【解析】（1） 在 上恒成立，设  在 上为增函数，所以 ．    …………4分
（2）   …………5分
可得 在 上是增函数，
又 ， ，…………6分
则存在唯一实数 ，使得 即 …………7分
则有 在 上递减；
 在 上递增；
故当 时， 有最小值 ………9分
则 有最小值 ，
又 ，
令
求导得： ，故 在 上递增，………10分[来源:Zxxk.Com]
而 ， ，故 可等价转化为
故求 的最小值 的值域，可转化为求 在 上的值域．………11分
易得： 在 上为减函数，则其值域为 ．………12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）由曲线 的参数方程，消去参数 ，
可得 的普通方程为： .       …………2分
由曲线 的极坐标方程得：
 曲线 的直角坐标方程为      ……… …5分
（2）设曲线 上任意一点 ，则点 到曲线 的距离为
 ．     …………7分
  ， ．
当 时， ， 即 ；
当 时， ，即
  或                       …………10分

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）当 时，
 的解集为：               …………5分
（2）由 得：
由 ，得：
得 （当且仅当 或 时等号成立），
故 的最小值为                            …………10分