河北石家庄市2017-2018高二数学理科下学期期末试卷（含答案）

2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测
高二理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数 满足 ，则 （   ）
A．           B．            C．             D．
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数 在 处的导数值 ，所以， 是函数 的极值点.以上推理中（   ）
A．大前提错误       B．小前提错误       C．推理形式错误       D．结论正确
3.在回归分析中， 的值越大，说明残差平方和（   ）
A．越小             B．越大             C．可能大也可能小     D．以上都不对
4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
 
按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（   ）
A．             B．            C．             D．
5.如果函数 的图象如图所示，那么导函数 的图象可能是（   ）
 
            
         A．                   B．                     C．                    D．
6.某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如下表：
广告费用 （万元） 4 2 3 5
销售额 （万元）
50 26 38 

根据以上数据可得回归直线方程 ，其中 ，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则 ， 的值为（   ）
A． ，     B． ，     C． ，     D． ，
7.利用数学归纳法证明不等式  的过程，由 到 时，左边增加了（   ）
A．1项                B． 项                 C． 项            D． 项
8.如图，用 ， ， 三类不同的元件连接成一个系统.当 正常工作且 ， 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 ， ， 正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（   ）
 
A．0.960               B．0.864                C．0.720              D．0.576
9.设复数 ，若 ，则 的概率为（   ）
A．              B．                C．              D．
10.设函数 的定义域为 ，若对于给定的正数 ，定义函数 ，则当函数 ， 时，定积分 的值为（   ）
A．            B．         C．        D．
11.已知等差数列 的第8项是二项式 展开式的常数项，则 （   ）
A．                  B．2               C．4            D．6
12.已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，若 ，则函数 的取值范围为（   ）
A．               B．           C．         D．
第Ⅱ卷（非选择题  共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知随机变量服从正态分布 ，若 ，则 等于          ．
14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有          种不同的选法．（用数字作答）
15. 的展开式中 的系数是          ．
16.已知 是奇函数，当 时， ，（ ），当 时， 的最小值为1，则 的值等于          ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.复数 ， ，若 是实数，求实数 的值.
18.某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 

保费 
 
 
 
 
 

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 

概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 的概率.
19.在数列 ， 中， ， ，且 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列（ ）.
（1）求 ， ， 及 ， ， ；
（2）根据计算结果，猜想 ， 的通项公式，并用数学归纳法证明.
20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的 ，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 ，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的 列联表：
 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计
对教师教学水平好评   
对教师教学水平不满意   
合计   
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量 .
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数 的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求 的数学期望和方差.
 
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（ ，其中 ）
21.已知函数 ， （ 为自然对数的底数， ）.
（1）判断曲线 在点 处的切线与曲线 的公共点个数；
（2）当 时，若函数 有两个零点，求 的取值范围.
请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 的直角坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 ，直线 过点 且与曲线 相交于 ， 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若 ，求直线 的直角坐标方程.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数 的定义域为 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若 ，求证： .
 
2017-2018学年度期末试题高二数学
理科答案
一、选择题
1-5: CAACA      6-10: CDBDD     11、12：CB
二、填空题
13. 0.36         14. 660          15. 243          16. 1
三、解答题
17.解： 
 
 .
∵ 是实数，
∴ ，解得
 或 ，
由于 ，
∴ ，故 .
18.解：（1）设 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故 .
（2）设 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”，则事件 发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故 .
又 ，
故 .
因此所求概率为 .
19.解：（1）由已知条件得 ， ，
由此算出 ， ， ，
 ， ， .
（2）由（1）的计算可以猜想 ， ，
下面用数学归纳法证明：
①当 时，由已知 ， 可得结论成立.
②假设当 （ 且 ）时猜想成立，即 ， .
那么，当 时，
  ，
 ，
因此当 时，结论也成立.
由①和②和对一切 ，都有 ， 成立.
20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的 列联表：
 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计
对教师教学水平好评 120 60 180
对教师教学水平不满意 105 15 120
合计 225 75 300
 的观测发传真  ，
所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.
（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为 ，且 的取值可以是0，1，2，3，4，
其中 ； ；
 ； ； ，
 的分布列为：
 
0 1 2 3 4
 
 
 
 
 
 

②由于 ，
则 ， .
21.解：（1） ，所以切线斜率 .
又 ，∴曲线在点 处的切线方程为 ，
由 得 .
由 ，
可得
当 时，即 或 时，有两个公共点；
当 时，即 或 时，有一个公共点；
当 时，即 时，没有公共点.
（2） ，
由 ，得 ，
令 ，则 .
当 时，由 ，得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 .
由 ， ，
比较可知 ，所以，结合函数图象可得，
当 时，函数 有两个零点.
22.解：（1）由 ，可得 ，得 ，
即曲线 的直角坐标方程为 .
（2）设直线 的参数方程为 （ 为参数），
将参数方程①代入圆的方程 ，
得 ，
∴ ，上述方程有两个相异的实数根，设为 ， ，
∴ ，
化简有 ，
解得 或 ，
从而可得直线 的直角坐标方程为 或 .
23.解：（1） ，即 ，则 ，
∴ ，
∴不等式化为 ，
①当 时，不等式化为 ，
∴ ；
②当 时，不等式化为 ，
∴ .
综上，原不等式的解集为 .
（2）证明：由已知 ，∴ .
又 ，则   .