福建龙海二中2017-2018高二数学下学期期末试题（理科附答案）

龙海二中2017—2018学年下学期期末考
高二数学（理）试题
 (满分150分, 考试时间120分钟)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.设集合 ，则 （   ）
A．           B．         C．         D．
2.已知 是虚数单位，复数 的共轭复数为 ，若 ，则 （   ）
A．          B． 或        C． 或        D．
3.下列4个命题中正确的个数是（   ）
（1）对于命题 ，使得 ，则 都有
（2）已知 ～
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为 ，则回归直线方程为
（4）“ ”是“ ”的充分不必要条件
A．1         B．2       C．3        D．4
4. 在 的展开式中， 的系数为  (   )
A.    B.    C.    D. 
5. 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为(  )
A. 4种      B. 12种      C. 24种      D. 120种
6.篮子里装有3个红球，4个白球和5个黑球,球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B= “取出一个红球，一个白球”，则错误！未找到引用源。 = (   )
    A．错误！未找到引用源。             B．错误！未找到引用源。              C． 错误！未找到引用源。             D． 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

7.已知函数 ，则 （    ）
A.是奇函数，且在R上是增函数       B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数       D.是偶函数，且在R上是减函数
8.设随机变量 ,若 ,则 的值为(   )
A.             B.            C.          D.
9. 函数 的图象大致为   (   )
 
10.函数错误！未找到引用源。的图象如图，则错误！未找到引用源。的单调递减区间是（  ）
   A．错误！未找到引用源。          B．错误！未找到引用源。 
C．错误！未找到引用源。             D．错误！未找到引用源。
11. 已知定义在R上的奇函数 的图象关于直线 对称，且 ，
则 的值为    (   )
  A.          B.           C.          D.  
12.已知数列 …,则此数列的第 项是(   )
   A.             B.              C.            D. 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.随机变量错误！未找到引用源。服从二项分布错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 =__________.
14. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为               .
15. 若 ，则 － 的值为___________。
16. 定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如:错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，依此类推可得：错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 =__________.    
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分11分） 以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数）.
（Ⅰ）求直线 和曲线 的普通方程；
（Ⅱ）直线 与 轴交于点 ，与曲线 交于 ， 两点，求 .

18.（本小题满分11分）已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2） ，求 的取值范围.

19.（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8>0.
 (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
 (2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知错误！未找到引用源。.
（Ⅰ）当错误！未找到引用源。时，求错误！未找到引用源。的极值；
（Ⅱ）若错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上不单调，求实数错误！未找到引用源。的取值范围.

21.（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。
   （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：
  喜爱运动 不喜爱运动 总计
男 10   16
女 6   14
总计     30
   （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
   （3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为 ，求 的分布列和均值。
 参考公式： ，其中
 
参考数据：
 
0.40 0.25 0.10 0.010
 
0.708 1.323 2.706 6.635

22.已知 .
(Ⅰ)求函数 的最小值；
(Ⅱ)求证:对一切 ,都有 成立 .

龙海二中2017—2018学年下学期期末考
高二数学（理）参考答案
一、选择题：(本大题共12小题，每小题 分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B D A C B A C D A A D

13.      14.         15.-1       16.33

17.解：（Ⅰ） ，
化为 ，
即 的普通方程为 ，
 消去 ，得 的普通方程为 .………………5分
（Ⅱ）在 中令 得 ，
∵ ，∴倾斜角 ，
∴ 的参数方程可设为 即 ，
代入 得 ， ，∴方程有两解，
 ， ，∴ ， 同号，
  .………………11分

18.解：（1）当 时， ，即 或 或 解得 或 或 ，故此不等式的解集为 .………………5分
（2）因为 ，因为 ，有 成立，所以只需 ，化简得 ，解得 或 ，所以 的取值范围为 . ………………11分
19..解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，  …………2分
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，1<x<3.
由x2－x－6≤0，x2＋2x－8>0，解得－2≤x≤3，x<－4或x>2，即2<x≤3.
所以q为真时，2<x≤3. …………5分
若p∧q为真，则1<x<3，2<x≤3⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．………8分
(2)因为非p是非q的充分不必要条件，
所以q是p的充分不必要条件，于是满足a≤2，3a>3，
解得1<a≤2，故所求a的取值范围是(1,2]．…………12分

20.（Ⅰ）当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。………………………………………………………1分
错误！未找到引用源。…………………………………………………………2分
由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。
由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。在 错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。上单调递增，在错误！未找到引用源。上单调递减………………………4分
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。, …………………………………………………………6分
（Ⅱ）错误！未找到引用源。,………………………………………………………………………7分
错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调递增,…………………………………………………………………8分
所以，要使函数错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上不单调，只需
错误！未找到引用源。, …………………………………………………………………………10分
即错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。.…………………………………………………………………………………12分

21．解：（1）
  喜爱运动 不喜爱运动 总计
男 10 6 16
女 6 8 14
总计 16 14 30
    ……2分
   （2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
 
 因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关     6分
   （3）喜爱运动的人数为 的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：
                ……8分
 

喜爱运动的人数为 的分布列为：
 
0 1 2
P 
 
 

 ……10分
 所以喜爱运动的人数 的值为：     … 12分

22..解:(I)函数 的定义域为 , .                ………………1分
当 时, , 为增函数；当 时, , 为减函数
所以函数 的最小值为 .                                ………………5分
（Ⅱ）问题等价于证明                                  ………………6分
由(I)可知, 的最小值为 ,当且仅当 时取到.         ………………8分
令 , ,则 ,                       ………………9分
易知 ,当且仅当 取到,所以 .
从而对一切 ,都有 成立.                      ………………12分