四川眉山市2017-2018高二数学下学期期末试卷（文科附答案）

眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
         数学试题卷 （文史类）    2018.07
数学试题卷（文科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 为虚数单位，实数 满足 ，则
A．1     B．     C．      D．
2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
 A.15           B.16          C.17          D.18
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理根，那么 、 、 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是
A．假设 、 、 都是偶数           B．假设 、 、 都不是偶数
C．假设 、 、 至多有一个偶数     D．假设 、 、 至多有两个偶数
4．设 ，计算得 
 ，观察上述结果，可推测一般结论为
A.  B.
C.  D.
5．已知 为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，则
“ ”是“点 第四象限”的
A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件
C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件
6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字 ），设甲、乙所抛掷骰子朝上一面的点数分别为 、 ，则满足复数 的实部大于虚部的概率是
A．            B．        C．         D．
7．已知函数 ，则函数 的大致图象是
 
8．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为
                                             
9．AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是
 
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日,空气质量越来越好
10．函数 的大致图象如图所示，
则 等于
 
A.23           B.43           C.83   D.163
11．设函数 的导函数为 ，对任意 成立，则
A．        B．
C．        D． 与 的大小不确定
12．设函数 在区间 上有两个极值点，则 的取值范围是
                          
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 为虚数单位，设复数 满足  ，则 的虚部是           .
14．如图,函数 的图象在点P处的切线方程是
 ，则              .
15．一个样本 的平均数是 ,且 是方程 的两根,则这个样本的方差是　　　　 　.
16．已知函数 的定义域是 ，关于函数 给出下列命题：
①对于任意 ，函数 是 上的减函数；
②对于任意 ，函数 存在最小值；
③存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立；
④存在 ，使得函数 有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
18.（本小题满分12分）
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的
成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
 
0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025
 
0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
参考公式：        
19. （本小题满分12分）
某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
（1）请根据表中提供的数据，用相关系数 说明 与 的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据:  ）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式： ， ；相关系数 ；
20．（本小题满分12分）
为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．
 
（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；
（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．
21. （本小题满分12分）
已知函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 的值及函数 的最大值；
（2）证明：对任意的 .

22. （本小题满分12分）
设函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 ， 的直线的斜率为 ，问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
 
眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
数学（文科）参考答案

一、选择题：DCBDA    BACCC     AD
二、填空题：
13.      14. 1      15.      16.②④
三、解答题：
17.解：（1）    --------------2分
所以函数 的单调减区间为           ------------------------4分
（2）因为       ----------------------5分
             ---------------------6分
又     ---------------------8分
由 ，        -----------------------10分

18.[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果，                                              --------- -------3分
符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果，                            -----------------5分
根据等可能事件的概率得到P＝1015＝23．                      --------------------6分
(2)由已知数据得
 甲班 乙班 总计
成绩优秀 1 5 6
成绩不优秀 19 15 34
总计 20 20 40
-----------------------8分
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝ ≈3.137，                   ----------------------------11分
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．                                    ----------------------------12分

19.（1） 6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，         ----------------------------1分
x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，        ----------------------------2分
 62＋82＋102＋122＝344．           ---------------------------4分
 ，线性相关性非常强. ---------------------------6分
(2) 158，x=9，y＝4， 344．
b^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a^＝y－b^x＝4－0．7×9＝－2.3，
故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3．                    ----------------------------10分
(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，y^＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．                                 ----------------------------12分

20.（1）由直方图可知，样本中数据落在 的频率为 ，
则估计全校这次考试中优秀生人数为 ．    ----------------------2分
（2）①设样本数据的平均数为 ，
则 ，
则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．        ----------------------------5分
②成绩在 间分别抽取了3人，2人，1人．---------------7分
记成绩在 的3人为 ，成绩在 的2人为 ，成绩在 的1人为 ，记恰好抽中2名优秀生为 事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有
 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共20种    -------------------------------------------------------------------------------------------9分
其中恰好抽中2名优秀生的结果有 ，
 共9种，----11分
则 ．   --------------------------------------------------------------------------------12分
21解：（1）函数 的定义域为 ， ，因 的图象在点 处的切线方程为 ，所以 解得 ，所以 ，故 ．令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以当 时， 取得最大值 ．                 --------------------6分
（Ⅱ）证明：原不等式可变为 则
 ，可知函数 单调递增，
而，
所以方程 在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即 ．
当x∈（0，x0）时， ，函数h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时， ，函数h（x）单调递增；所以
 .
即 在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x＞0， 成立．                     ---------------------12分
法二：证 ，亦可.
22.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.          ----------1分
令g(x)＝x2－ax＋1，则方程x2－ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．          ---------2分
②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．                                   ----------3分
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－42，x2＝a＋a2－42，
当0<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．    -------------5分
(2)由(1)知，a>2.
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，
所以k＝fx1－fx2x1－x2＝1＋1x1x2－a•ln x1－ln x2x1－x2.
又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a•ln x1－ln x2x1－x2.        ---------------------------------7分
若存在a，使得k＝2－a.则ln x1－ln x2x1－x2＝1.           ---------------------------------8分
即ln x1－ln x2＝x1－x2.
亦即x2－1x2－2ln x2＝0(x2>1)．　(*)                       -----------------------9分
再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，
所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．           -------------------11分
故不存在a，使得k＝2－a.                                  ------------------12分