四川眉山市2017-2018高二数学下学期期末试卷（理科带答案）

眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
         数学试题卷（理工类）      2018.07
数学试题卷（理科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 为虚数单位，实数 满足 ，则
A．1     B．     C．      D．
2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
 A.15           B.16          C.17          D.18
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理根，那么 、 、 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是
A．假设 、 、 都是偶数           B．假设 、 、 都不是偶数
C．假设 、 、 至多有一个偶数     D．假设 、 、 至多有两个偶数
4．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，设 表示下雨， 表示刮风，则
A．         B．            C．        D． 
5．已知某居民小区户主人数和户主对所住户型结构的满意率分别如图1和图2所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A.100,8          B.80,20           
C.100,20      D.80,8
6. 在4次独立重复试验中，事件A发生的概率
相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在一次试验中发生的概率为
                                          
7. 已知函数 ，则函数 的大致图象是
 
8. 在长为 的线段 上任取一点 .现作一矩形,邻边长分别等于线段 的长,则该矩形面积小于 的概率为
                                             
9.已知 展开式中常数项为1120，实数 是常数，则展开式中各项系数的和是
                                                             
10．学校选派 位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这 所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有
A．540种    B．240种         C．180种     D．150种
11．已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，则 的大小关系正确的是
A．  B．  C．  D．
12.设函数 在区间 上有两个极值点，则 的取值范围是
                               
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 为虚数单位，设复数 满足 ，则 的虚部是       
14．已知  cos ,则二项式 的展开式中 的系数为__________．
15.三个元件 正常工作的概率分别为 12，34，34，将 两个元件并联后再和  串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为         ．
 
16．已知函数 的定义域是 ，关于函数 给出下列命题：
①对于任意 ，函数 是 上的减函数；
②对于任意 ，函数 存在最小值；
③存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立；
④存在 ，使得函数 有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的
成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
 
0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025
 
0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
参考公式：        

18．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；
（2）若函数 有三个不同零点，求 的取值范围.
 19.（本小题满分12分）
某研究机构对高三学生的记忆力 和判断力 进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
（1）请根据上表提供的数据，用相关系数 说明 与 的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据:  ）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式： ， ；相关系数 ；
20.（本小题满分12分）
世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别 [0,20） [20,40） [40,60） [60,80） [80,100）
频数  2 250 450 290  8
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布  ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；
（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与数学期望.
附:若 ，则
 ，
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值及函数 的最大值；
（2）证明：对任意的 .
22．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，证明：  ．
 
眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
数学（理科）参考答案

一、选择题：DCBBA    AACCD    CD
二、填空题：
13.         14.        15.       16.  ②④
三、解答题：

17.[解]　(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,记该事件为A，
根据等可能事件的概率得到       -----------------4分
(2)由已知数据得
 甲班 乙班 总计
成绩优秀 1 5 6
成绩不优秀 19 15 34
总计 20 20 40

----------------------6分
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝ ≈3.137，              -----------------------9分
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．                                 -----------------------10分

18.解：(1)因为
 
所以函数 的单调减区间为
                    ----------------3分
又
由      ------------------------------6分
 
 
 
               ------------------------------10分
                                   ------------------------------12分
 
19.（1） 6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，  -------------------1分
x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，        ------------------2分
 62＋82＋102＋122＝344．            -----------------4分
 ，线性相关性非常强. ----------------6分
(2) 158，x=9，y＝4， 344．
b^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a^＝y－b^x＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3．           -------------------------9分
(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，y^＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．                          -----------------------12分

20.解：（1）设样本的中位数为 ，
则 ，
解得 ，所得样本中位数为51（百元）.  ------------------------3分
 
 
 
 
估计有805位同学旅游费用支出在8100元以上.   -----------------------6分
（3） 的可能取值为0，1，2，3，
 ， ，
 ，
∴ 的分布列为
 
0 1 2 3
 
 
 
 
 

-------------------------10分
               --------------------------12分

21解：（1）函数 的定义域为 ， ，因 的图象在点 处的切线方程为 ，所以 解得 ，所以 ，故 ．令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以当 时， 取得最大值 ．        -----------------------6分
（Ⅱ）证明：原不等式可变为 则
 ，可知函数 单调递增，
而，
所以方程 在（0，+∞）上存在唯一实根x0，使得 ．
当x∈（0，x0）时， ，函数h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时， ，函数h（x）单调递增；所以
 .
即 在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x＞0， 成立．          -------------------------12分
法二：证 ，亦可.
22.解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－x－2x＋2，
y′＝aax＋1－4(x＋2)2＝ax2＋4a－4(ax＋1)(x＋2)2，         -----------------------------------------1分
当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；
当0<a<1时，由y′>0得x>21a－1，所以函数y＝f(x)－g(x)在 上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在 上是单调递减函数；-----3分
(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．
所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，
即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，
当0<a<1时，函数y＝f(x)－g(x)是 上的减函数，存在 ，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，
综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．                       -------------------------7分
(3)当a＝1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，
即ln(x＋1)>2xx＋2，所以 ，
即12k＋1<12[ln(k＋1)－lnk]．
所以13<12(ln2－ln1)，
15<12(ln3－ln2)，
17<12(ln4－ln3)，…，
12n＋1<12[ln(n＋1)－lnn]．
将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n＋1<12[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝12ln(n＋1)＝12f(n)．
∴原不等式成立．                            -------------------------------------------12分